Теорема Коши. Интегральная формула Коши

Т. (т. Коши). Если функция ω = f(z) однозначная аналитическая функция в односвязной области D, ограниченной контуром L и l –замкнутый контур в области D,то . Если, дополнительно, функция ω = f(z) – непрерывна в замкнутой области , то . Доказательство. . В силу аналитичности функции функции u(x,y) и v(x,y) образуют гармоническую пару, для которой справедлива т. Коши:

. Следовательно, , ч.т.д.

Т. (интегральная формула Коши). Значение функции ω = f(z), аналитической в односвязной области D, в особой точке определяется ее значениями на любом замкнутом кусочно-гладком контуре l, охватывающем точку z₀ , целиком лежащем вместе со своей внутренностью в области D, и вычисляется по формуле:

. При этом функция ω = f(z) имеет всюду в D производные любого порядка, для кот. справедливы ф-лы: