Скалярное поле. Градиент

О. Градиентом функции u=u(x,y,z) называется вектор, проекциями которого служат значения частных производных этой функции:

Градиент функции указывает направление

наибыстрейшего возрастания функции.

Т. Направление градиента функции u=u(x,y,z) в каждой точке совпадает с направлением нормали к поверхности уровня скалярного поля, проходящей через это точку. Док-во.

Выберем произвольную точку P₀(x₀,y₀,z₀). Уравнение поверхности уроввня,

проходящей через точку P₀: u(x,y,z)=C, где С=u(x₀,y₀,z₀). Ур-ие нормали

к пов-тив точке Р₀:

где - координаты направляющего вектора нормали

По определению градиента вектор n есть градиент функции

u=u(x,y,z) в точке Р₀ (ч.т.д.)

Формула для нахождения косинуса угла между векторами: cosφ=