Понятия фкп. Выражения для х и у.

О. Пусть дано некоторое множество М комплексных чисел z, например, некоторая область на плоскости Гаусса (z). Если каждому элементу z из этого множества по некоторому закону f поставлено в соответствие одно, вообще говоря, комплексное число ω = f(z), то говорят, что на множестве М определена функция комплексного переменного (ФКП) – ω. ω = f(z)

Область определения ФКП – множество М точек плоскости Гаусса(z).

О. Область М (на плоскости, в пространстве) называется односвязной, если любой замкнутый контур, лежащий в этой области, можно непрерывно стянуть в точку, не выходя при этом за пределы области (иначе, область без «дырок»).

Евклидово пространство – метрическое пространство, в котором для любых двух точек x и y определено число ρ(x, y) – расст. от х до y или метрика так, что выполняются аксиомы: 1) ρ(x, y) = ρ(y, х), 2) ρ(x, y) > 0 при x y; ρ(x, х) = 0 при любых х, 3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ρ(y, z).

Рассмотрим комплексное число z = x + iy, тогда значение функции в точке z равно ω = f(z) = u + iv, Re[f(z)] = u – действительная часть, Im[f(z)] = v – мнимая часть функции ω = f(z). Т.о. при переходе от точки z к точке z₁ меняются координаты x и y на плоскости Гаусса, следовательно, меняется и значение f(z), т.е. изменяются u и v, следовательно, u и v тоже функции переменных x и y: ω = f(z) = u(x, y) + iv(x, y).