Циркуляция векторного поля. О. Вычисление

О. Циркуляцией векторного поля a(Р) вдоль замкнутого контура l называется криволинейный интеграл по контуру l от скалярного произведения вектора a на вектор S:

C = = = a_xdx + a_edy + a_zdz, где a∙s=|s|Пр_sa=1∙Пр_sa=a_s – проекция вектора поля на направление касательной; dl – дифференциал длины дуги.

О. Циркуляцией векторного поля a(Р) вдоль замкнутого контура l называется работа векторного поля вдоль замкнутого пути l.

О. Векторное поле a(P) называется потенциальным, если работа этого поля не зависит от формы пути. Вычисление. 1-й способ. Пусть дана окружность x²+y²=R².

Пусть направление обхода вдоль l положительное. Вычислим циркуляц.

вектора a(P)=yi-xj. Решение: С= a_xdx+a_ydy = ydx – xdy (*)

Обозначим заданную окружность через l. Данный интеграл можно

вычислить 2 способами: 1). Выразим уравнения окружности y, будем рассматривать только верхнюю сторону ркружности: y=+ , при этом R≤x≤–R. Найдем дифференциал dy: dy= = .. Подставим в (*):

С=2 ( – )dx=…= -2πR² 2). Кривая l замкнутая, => для вычисления криволинейного интеграла 2 рода используем формулу Грина:

= dxdy, где D – область, ограничен. кривой l.

P(x,y)=y, Q(x,y)=-x => =-1, =1 => C= = =-2 = =-2S_D=-2πR².