Определение и св-ва аналитических функций

О. (первое определение аналитической функции) Функция ω = f(z), дифференцируемая в каждой точке z области D и имеющая в этой области непрерывную производную f '(z), называется аналитической в области D.

Некоторые свойства аналитических функций.

1. Функция, аналитическая в точке, имеет в этой точке производные любого порядка, которые являются непрерывными в этой точке. Аналитическая в области D функция дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна в этой области.

2. Сумма, разность, произведение и частное (если делитель не равен нулю) двух аналитических в области D функций – аналитическая функция в D.

3. Если ω = f(z) – аналитическая функция в замкнутой области D, ограниченной контуром L, то ее значения внутри области D однозначно определяются ее значениями на контуре L. Если две аналитические в области D функции имеют на контуре L одни и те же значения, то они тождественны во всей области D.

4. (Теорема Дзядыка В.К.) Если ω = f(z) = u(x,y) +i v(x,y) – аналитическая в области D функция, то площади поверхностей z = u(x,y), z = v(x,y), z = |f(z)| = , расположенных в трехмерном пространстве (Oxyz) над любой частью области D, равны.

5. Максимум модуля аналитической в области D функции не может располагаться во внутренней точке области D.

6. Пусть ω = f(z) – аналитическая в области D функция с областью значений G = и пусть обратная к ней функция аналитична в области G. Тогда сложная функция φ(f(z)) – аналитична в области G.