Конформность отображения посредством гармонической пары и аналитической функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть в области D на плоскости (z) задана аналитическая функция т.е. u(x,y) и v(x,y) – гармоническая пара. Зададим определенное значение . Этому значению соответствует определенное значение Следовательно, каждой точке z = (x,y) на плоскости (Oxy) соответствует определенная точка ω = (u,v) на плоскости (Оuv) и наоборот, т.е. задается взаимно-однозначное отображение области D плоскости (z) на область G плоскости (ω) посредством аналитической функции или, что тоже самое, посредством гармонической пары.

Т. Отображение посредством аналитической функции конформно при условии, что якобиан I 0.

Геометрический смысл аргумента производной: – аргумент производной функции в точке Z₀ геометрически равен углу , на который нужно повернуть касательную L в точке Z₀ к кривой Г, чтобы получить касательную в точке ω₀ к образу этой кривой Г^/. Геометрический смысл модуля производной: - модуль производной функции в точке Z₀ геометрически равен коэффициенту растяжения в точке Z₀ при отображении ω = f(z).