Нормированные пространства. Норма. Примеры

Нормированным векторным пространством называется пара  , где V — векторное пространство, а   — норма в V. Норма — функция, заданная на векторном пространстве и обобщающая понятие длины вектора или абсолютного значения числа.

Примеры нормированных пространств. 1. Конечномерные нормированные пространства.

Вещественная прямая   является нормированным пространством, если в качестве нормы взять модуль вещественного числа.

В действительном конечномерном пространстве   норму можно ввести нескольким способами. Наиболее широко известна Евклидова норма:

. Другие возможные нормы: , .

В комплексном n-мерном пространстве   норму можно ввести следующим образом:

||x|| = . 2. Пространство непрерывных функций. В простр-ве непрерывных на отрезка [a,b] функций C[a,b] норму можно задать формулой ||f|| = .