Квадратичные формы. Матрица квадратичной формы. Пример.

Квадратичная форма переменных x₁, x₂,…, x_n – функция f(x₁, x₂,…, x_n) = = a₁₁x₁² + a₁₂x₁x₂ +…+ a_1nx₁x_n + a₂₁x₂x₁ + a₂₂x₂² +…+ a_2nx₂x_n +…+ a_n1x_nx₁ +a_n2x_nx₂+…+a_nnx_n², a_ij - коэффициенты квадратичной формы.

Матрица A = называется матрицей квадратичной формы, а ее ранг - рангом квадратичной формы. Квадратичная форма наз. невырожденной, если det A 0.

Квадратичная форма называется канонической, если все a_ij = 0, i j, т. е.

f(x₁, x₂,…, x_n) = = a₁₁x₁² + a₂₂x₂² +…+ a_nnx_n²

Пример 1. Найдем матрицу квадратичной формы

F = 2 x₁² − 4 x₁ x₂ + x₂² + 2 x₁ x₃ − x₃². Решение. 1. Запишем квадратичную форму F в виде: F = 2 x₁² − 2 x₁ x₂ − 2 x₂ x₁ + x₂² + x₁ x₃ + x₃ x₁ − x₃². 2. Матрица этой квадр-ой формы:

A =