Линейные операторы. Действия с лин. Операторами

Пусть X и Y два линейных пространства. Оператор A, действующий из X в Y, называется линейным оператором, если для любых двух элементов u и v из X и любого числа α справедливо: A(u + v) = A(u ) + A(v) ,  A(α·u) = α· A(u). Операторы A и B, действующие из X в Y называются равными, если A(x) = B(x) для всех x из X :

A: X → Y,  B: X → Y,  A = B  если  A(x) = B(x), ∀x∈X.

Действия с лин. операторамими. Операторы A и B действуют из X в Y .Оператор C, действующий из X в Y, называется суммой операторов A и B, если C(x) = A(x) + B(x) для всех x из X :A: X → Y,  B: X → Y,  C = A + B  если C: X → Y, и  C(x) = A(x)+ B(x) , ∀x∈X.

Оператор A действует из X в Y . Оператор C, действующий из X в Y, называется произведением оператора A на число α, если C(x) = α·A(x) для всех x из X :A: X → Y,   C = α·A если C: X → Y, и  C(x) = α·A(x) , ∀x∈X.

Оператор A действует из X в Y, оператор B действует из Y в Z. Оператор C, действующий из X вZ, называется произведением операторов A и B, если C(x) = A(B(x) ) для всех x из X : A: X → Y,  B: Y→Z,  C = B·A если C: X →Z, и  C(x) = B(A(x)) , ∀x∈X.

Сумма A + B линейных операторов, произведение линейного оператора на число α·A и произведениеB·Aлинейных операторов — линейные операторы.