Изолированные особые точки и их классификация

О. Пусть f(z) – однозначная и аналитическая функция в вырожденном кольце D:

0<|z-z₀|<R и пусть существует комплексное число z₁ такое, что если положить f(z₀)=z₁, то f(z) станет аналитической во всем круге |z-z₀|<R. В этом случае точка z₀ называется правильной точкой функции f(z). Иначе, в правильных точках не нарушается аналитичность. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются особыми. О. Если в достаточной близости к особой точке z₀ нет других особых точек, то z₀ называется изолированной особой точкой, иначе, z₀ – изолированная особая точка функции f(z), если f(z) – однозначная аналитическая функция в кольце 0<|z-z₀|<R, где z₀ – особая точка. Логически возможны и исключают друг друга 3 случая:

1-й случай. Если главная часть разложения функции в ряд Лорана в точке Z₀ отсутствует, т.е. ряд имеет вид _n (z - z₀)ⁿ, то изолированная особая точка Z₀ называется устранимой. Либо если функция f(z) – аналитическая в окрестности точки z=z₀ и ограничена по модулю в этой окрестности, т.е. существует конечный предел 2-й случай. Если главная часть разложения функции в ряд Лорана в точке Z₀ содержит лишь конечное число членов (иначе, содержит конечное число членов с отрицательными показателями), т.е. ряд имеет вид

ⁿ = + c₀+c₁(z-z₀) + c₂(z-z₀)+… то изолированная особая точка Z₀ называется полюсом порядка m≥1. Либо если f(z) –аналитическая в окрестности точки z=z₀ и справедливо равенство .

3 случай. Если главная часть разложения функции в ряд Лорана в точке Z₀ содержит бесконечное число членов, т.е. ряд имеет вид: ⁿ, то изолированная особая точка Z₀ называется существенно особой точкой. Либо если при z, близких к точке Z₀, |f(z)| не остается ограниченным, но функция не стремится к бесконечности при z стремящемся к Z₀, т.е. не существует.