Метрические пространства. Метрика. Примеры. Сжатые отображения

Метрическое пространство M есть множество точек с фиксированной функцией расстояния (также называется метрикой)  , где   обозначает множество вещественных чисел. Для любых точек   из M эта функция должна удовлетворять следующим условиям:

1.  (аксиома тождества). 2.  (аксиома симметрии). 3.  (аксиома треугольника).

Примеры. 1.Дискретная метрика:  , если x = y, и   во всех остальных случаях. 2. Вещественные числа с функцией расстояния   и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами. 3.Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния .

Сжатые отображения. Рассмотрим полное метрическое пространство X с метрикой r. Отображение P пространства X в себя называется сжатым (говорят также, что отображение P есть оператор сжатия ), если существует число a, 0 < a < 1, такое, что для всех x, y принадлежащим X.