Основные теоремы о вычетах

Т. (первая теорема о вычетах, или основная) Если функция f(z) аналитическая в области D, за исключением изолированных особых точек Z₁,Z₂,…,Z_N, лежащих внутри этой области, то для любого простого замкнутого контура Г , охватывающего точки Z₁,Z₂,…,Z_N, интеграл равен произведению (2πi) на сумму вычетов относительно особых точек f(z), лежащих внутри контура Г:

Доказательство. Z₁,Z₂,…,Z_N – особые точки, лежащие внутри контура. Обозначим как α₁ = res , α₂ = res , … ,

α_N = res , где - контуры – окружности вокруг этих точек, лежащие внутри Г и вне друг друга. Следовательно, по теореме Коши для сложного контура (для многосвязной области) можно записать, что

= 2πi [α₁ + α₂ + …+ α_N] =

= = , что и требовалось доказать.

Т. (вторая теорема о вычетах) Если функция f(z) аналитическая во всей комплексной плоскости, за исключением изолированных особых точек , то сумма всех вычетов относительно особых точек f(z) равна нулю^: _k]=0