Определение линейных пространств. Аксиомы. Свойства

О. Множество L  называется линейным или векторным пространством, если для всех элементов (векторов) этого множества определены операции сложения и умножения на число и справедливо: 1. Каждой паре элементов x и y из L отвечает элемент x + y из L, называемый суммой x и y, причём: а) x + y = y + x − сложение коммутативно;

б) x + (y + z) = (x + y) + z − сложение ассоциативно; в) x + 0 = x − существует единственный нулевой элемент 0 ( x + 0 = x для любого x из L);

г) x + (− x) = 0 − для каждого элемента x из L существует единственный противоположный элемент −x ( x + (−x) = 0 для любого x изL).

2. Каждой паре x и α, где α − число, а x элемент из L, отвечает элемент α·x, называемый произведением α и x, причём: α·(β·x) = (α·β)·x − умножение на число ассоциативно; 1·x = x − для любого элемента x из L.

3. Операции сложения и умножения на число связаны соотношениями: α·(x + y) = α·x + α·y − умножнение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;

(α + β)·x = α·x + β·x − умножнение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел. Свойства.

1. Нулевой элемент – единственен. 2. Для каждого элемента противоположный элемент – единственен. 3.  0· = 0. 4.  .