Определение евклидова пространства

О. Вещественное линейное пространство Е называется евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования.

1.Имеется правило, посредством которого любым двум элементам x,y E ставится в соответствие вещественное число, называемое

скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (x,y).

2.Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1) (х,у) = (у,х) Vх,у€Е (аксиома коммутативности);

2) (х + y,z) = (x,z) + (y,z) Vx,y,z€E (аксиома дистрибутивности);

3)(λх,у) = λ(х,у) V х,у € , Vλ€R;

4) (х,х) ≥ 0 х Е (х,х) = 0 <=> х θ. Примеры евклидовых пространств. 1.В линейных пространствах V₂ и V₃ всех свободных векторов на плоскости и в пространстве в курсе аналитической геометрии вводится скалярное произведение по следующему правилу: (х, у) = |х| • |у| • cos φ, где φ - угол между векторами х и у, а |х| и |у| - их длины.

2.В арифметическом линейном пространстве Rⁿ, скалярное произведение можно задать по формуле: (х, у) – х₁у₁ +... + х_пу_п. 3.В линейном пространстве С(а,b) всех функций, непрерывных на отрезке [a.b], скалярное произведение можно задать по формуле: (x(t), y(t)) =