8.12 Поверхности уровня и градиент скалярного поля

Геометрической характеристикой скалярного поля являются поверхности уровня [43].

Поверхность уровня - это геометрические места точек, в которых значения данной скалярной величины одинаковы:

f (x, y, z) = c (где с = соnst),

Например: изобары, изотермы (рис.8.4).

Задача: построить поверхности уровня плоского скалярного поля φ = =x² - y². Решение: x² - y² = с . При с = 0 получаем пару прямых:

у = х ; у = z . При с ≠ 0 получаем семейство гипербол (рис.8.4).

Рисунок 8.4 − Поверхности (линии) уровня

Градиент – вектор, проекциями которого являются частные производные данной скалярной функции:

Градиент направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания поля. Он показывает направление и величину наиболь-шего изменения скалярного поля в данной точке.

Пример: найти градиент поля в точке М (2;-5;1).

Решение:

В точке М: