logo
МСС

2.6 Условия симметричности тензора напряжений

Важно выяснить условия, при которых тензор напряжений будет симметричным, т.к. в этом случае напряженное состояние характеризуется не 9, а только 6 компонентами.

Известно, что всякий тензор симметричен, если при i ≠ к его компоненты будут равными: Аiк=Акi. Для тензора напряжений симметричность выражается в виде «закона парности» касательных напряжений:

τiк = τкi .

Оказывается, что условия симметричности тензора σij непосредственно следуют их условий равновесия элементарного (в дифференциальной форме) или произвольного (в интегральной форме) объема сплошной среды относительно вращательного движения. Поэтому остановимся на этих условиях.

Уравнение вращательного движения для одной точечной массы можно получить, умножив векторно (2.2) на радиус-вектор этой массы m относительно начала некоторой инерциальной системы отсчета:

(2.15)

Соотношение (2.15) показывает, что момент количества движения точечной массы равен моменту действующей на нее силы .

Уравнение моментов для конечного объема сплошной среды, при принятых в МДТТ допущениях, таково [9]:

( 2.16)

где – вектор плотности моментов поверхностных сил;

– вектор плотности моментов внешних массовых сил.

На каждую частицу сплошной среды действуют распределенные поверхностные и массовые силы, которые в общем случае не сводятся только к равнодействующим. Поэтому приходится вводить поверхностные и мас-совые пары сил. Например, при сильно выраженном градиенте напряжений и плотности нельзя полагать, как это обычно делается, что векторы напряжений и массовых сил расположены точно в центре элементарной площадки и элементарного объема (рис. 2.6, а). В действительности равнодействующие будут смещены (рис. 2.6, б). Для учета этого к векторам напряжений и (или) объемных сил добавляют векторы плотности моментов поверхностных и (или) объемных cил (рис.2.6в):

Рисунок 2.6 − Появление поверхностных и массовых пар сил

В классической постановке задач МДТТ массовыми и поверх-ностными силами пренебрегают ввиду их малости, учитывая их в противном случае в т.н. «моментной» теории [10]. Поэтому уравнение (2.16) упрощается:

(2.17) Из него после ряда преобразований (см. п. 2.7) следует:

Так доказывается т.н. «закон парности» касательных напряжений:

τху = τух; τуz = τzy; τzx = τxz

Следовательно, σij = σji , если не учитывать поверхностные и массовые пары сил. Поэтому тензор напряжений симметричен только приблизи-тельно. Однако в подавляющем большинстве задач, встречающихся в ОМД, градиенты напряжений настолько малы, что ими можно пренеб-речь без существенной потери в точности решения.