7.14 Полные решения задач плоской деформации

Между полями скоростей и деформаций существует связь, в общем случае устанавливаемая одной из теорий пластичности. В МЛС такая связь дается уравнениями (7.31). Вместе с тем статическая определимость задачи ПДС для жестко-пластических сред дает возможность находить поле напряжений независимо от поля скоростей. Таких полей, удовлетворяющих уравнениям равновесия, произвольным статическим граничным условиям (СГУ) и условию пластичности может быть бесконечно много. Они называются статически допустимыми (см.п.6.12) и дают нижнюю оценку нагрузки (при условии возможности продолжения поля напряжений в жесткие зоны так, чтобы условие пластичности нигде не превышалось. Это - условие сопряжения пластических и жестких зон). Однако в действительности реализуется только одно из статически допустимых полей. От остальных оно отличается тем, что согласованное с ним поле скоростей является кинематически допустимым – оно удовлетворяет уравнению несжимаемости (для жестко-пластических сред и неразрывности – в общем случае) и кинематическим граничным условиям (КГУ). Решение, в котором найдены одновременно статически допустимое поле напряжений и кинематически допустимое поле скоростей называются полными, если выполнено еще одно условие [28]:

− диссипация (рассеивание) энергии пластического деформирования в пластических зонах должна быть положительной . Это условие согласованности полей напряжений и скоростей должно проверятся из-за того, что при выводе (7.9) было проведено сокращение на положительный множитель .

Если такие поля найдены, то одновременно становятся полностью известными и действительные граничные условия, по которым можно найти энергосиловые параметры процесса и форму тела после деформации (см.п.7.1).

Проблема однако в том, что в действительности граничные условия всегда известны только частично (см.п.7.3) и поэтому согласова-ние полей {σ_ij} и {V_i} может выполнятся только по части КГУ (обычно это нормальная составляющая скорости движения инструмента). Следовательно и получение полного решения невозможно без эксперимен-тального нахождения недостающих граничных условий.

При решении жестко-пластических задач возникает еще и проблема неединственности решения (см.[28]). Пластические зоны (очаг деформации) должны быть отделены от жестких, очевидно, линиями разрыва скоростей. Известно, что таковыми являются ЛС. Поэтому форма ЛС должна выбираться так, чтобы вне пластических зон ЛС удовлетворяли всем характерным для них требованиям и, в частности, выходили на свободные поверхности под углом 45⁰ к контуру тела. Этим и обусловлено требование возможности продолжения СЛС в жесткие зоны статически допустимым образом. Однако это требование является слабым и допускает множество вариантов, что иллюстрирует задача о внедрении штампа (п.7.11). Неединственности бы не было, если бы длина линий AD и DG была найдена экспериментально.

Контрольные вопросы к гл. „Применение теории