2.7 Доказательство равенства парных касательных

напряжений*

Возьмем уравнение моментов импульсов (2.17) для классической постановки задач МДТТ:

Используя соотношения Коши (2.8) и теорему Остроградского–

Гаусса, преобразуем последний интеграл таким образом:

Из векторного анализа известно, что:

Поэтому:

Подставляя полученное соотношение в исходное уравнение и учитывая, что:

(т.к. ), получим:

Левую часть этого уравнения преобразуем следующим образом:

Первый интеграл в правой части равен нулю, т.к. , а . Тогда, перенося два интеграла из предыдущего уравнения из его правой части в левую, будем иметь:

Как будет показано при выводе уравнений равновесия (см.п.2.15), выражение в круглых скобках левой части равно нулю. Поэтому:

Поскольку объем w был взят произвольным, и поскольку , то:

(2.18)

Известно, что: ; ; ;

; ; ,

если они индексированы, так, как это показано на рисунке 2.7:

Рисунок 2.7 − Индексация ортов системы координат

Отсюда следует, что (2.18) в развернутом виде:

–

Или, переходя к обычному обозначению касательных напряжений:

,

что и требовалось доказать.