logo
МСС

5.5 Постановка задач в теории упругости

Задано деформируемое твердое тело уравнением своей поверхности до деформации: = 0. Физические свойства тела заданы модулями упругости. Граничные условия, к которым сводятся краевые условия для квазистатических процессов и упругого равновесия, могут быть трех видов:

1) на всей поверхности задано распределение поверхностных нагрузок:

где – координаты точек поверхности тела. Связь поверностных нагрузок с компонентами σij устанавливается соотношениями Коши:

,

где li – косинусы нормалей к поверхности тела. Это т.н. «статические граничные условия» (СГУ);

2) на всей поверхности заданы смещения Это т.н. «кинематические граничные условия» (КГУ);

3) на части поверхности заданы СГУ, а на другой – КГУ. Это – смешанные граничные условия (СмГУ).

Требуется определить:

а) компоненты и для всех (в т.ч. и поверхностных) точек тела после деформации;

б) компоненты для всех точек тела.

Для решения этих задач, содержащих в общем случае 15 неиз-

вестных, имеются следующие 15 уравнений:

– равновесия:

–зависимости Коши: (5.17)

– обобщенного закона Гука:

Такова постановка прямой задачи теории упругости: по задан-ным граничным условиям определить форму тела после деформации и поля напряжений, смещений или деформаций в нем.

Имеется также обратная задача: по некоторым известным полям , или ui находят нагрузку на поверхности, вызвавшую эти поля (т.е. определяются граничные условия). Обратная задача решается значительно проще прямой, но возникает она редко.

На практике чаще встречается контактная задача: на части поверхности тела АВ (рис.5.2) имеется контакт с другим телом (возможно, абсолютно жестким).

Рисунок 5.2 − Контактная задача

Здесь известны нормальные составляющие смещения. Должен быть задан закон трения (например, Амонтона ). На сво-

бодных поверхностях АС и ВД ≡ 0. Известны также упругие константы деформируемого тела.

Требуется найти форму тела после деформации (на участках АС и ВД), напряжения на поверхности контакта σп и τк и, иногда, поля

напряжений и деформаций внутри тела. Эта задача является са-

мой трудной.