4.3 Теоремы э. Нётер и свойства симметрии

В 1918 г. Э. Нётер опубликовала работу, в которой развит общий метод получения инвариантов любой физической теории, если ее закономерности описываются вариационными уравнениями Лагранжа или Гамильтона. Следствием из этой теоремы является то, что каждому свойству симметрии пространства и времени должен соответствовать определенный закон сохранения.

Симметрия хорошо известна из повседневного опыта – в делении на правое и левое, отрицательное и положительное, в определенном чередовании атомов в кристаллических решетках и т.д. Симметрия встречается во всех явлениях, как в живой, так и в неживой природе. Понятие симметрии распространяется на пространство и время, на отдельные тела и физические процессы. Некоторые виды симметрии существуют и в физических законах.

Простейшие представления о симметрии известны с древнейших времен. Однако только во 2-й половине XIX века был создан математический аппарат для изучения симметрии – теория групп. Понятие «симметрия» также претерпело значительную эволюцию. Если ранее оно означало «соразмерность» и относилось только к телам, то сейчас под симметрией понимается следующее:

Если после определенных операций над объектом (например, поворотов, сдвигов, отражений и т.п.) он будет выглядеть так же, как и до операций, то данный объект считаем симметричным относительно этих операций.

Распространение понятия симметрии с геометрии на физику привело к возникновению т.н. динамических принципов инвариантности, которые отвечают на вопрос: «Что можно сделать с физическим явлением, чтобы получился тот же самый результат» (например, перейти из одной системы отсчета в другую).

Для классической физики основополагающее значение имеют симметрии пространства и времени. Симметрия пространства выража-ется в его однородности и изотропности.

Однородность пространства – отсутствие в нем выделенных точек, обладающих свойствами, отличными от свойств остальных точек. Поэтому перемещение физической системы из одной точки в другую само по себе не вызывает изменения ее состояния.

Изотропность пространства – отсутствие в нем выделенных направлений, вследствие чего повороты в пространстве не вызывают изменений в состоянии физической системы.

Симметрия времени состоит в его однородности:

Однородность времени – равноправие всех моментов времени, отсутствие абсолютных «начал» и «концов» физических процессов.

Вследствие этого время само по себе не меняет состояние физической системы (ничто не «стареет»).

Из 1-й теоремы Нётер следует, что каждому из преобразований указанных симметрий соответствует свой закон сохранения. Инвариантности функции Лагранжа относительно смещений начала системы отсчета (однородности пространства) соответствует закон сохранения импульса; инвариантности относительно пространственных поворотов (изотропности пространства) соответствует закон сохранения момента импульса, а инвариантности относительно смещений начала времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии. Последнее означает, что течение времени само по себе не может вызвать изменений замкнутой физической системы. Изменения могут произойти только в результате затрат определенного количества энергии.

Из сказанного становится ясным, почему в механике существует две меры движения: скалярная (кинетическая энергия) и векторная – импульс. Они соответствуют однородности одномерного времени и од-нородности 3-х мерного пространства.

В общем случае 1-я теорема Нётер приводит к заключению, что для любой замкнутой физической системы должно существовать 10 сохраняющихся величин: 3 компоненты импульса, 6 компонент момен-та импульса и 1 компонента энергии.