5.2 Обобщенный закон Гука

Для линейно–упругих сред уравнение связи между компонентами σ_ij и ε_ij можно получить из законов Гука для одноосного растяже-ния:

или

и сдвига:

где Е, G – модули упругости 1-го и 2-го рода.

При этом должны выполняться условия:

1) действие компонент σ_ij одновременно и порознь не переводит среду в пластическое состояние;

2) деформации являются малыми;

3) процесс деформации, по крайней мере вначале, является изотермическим.

Тогда применим принцип суперпозиции (независимого действия сил) для вычисления деформаций по любому направлению. Пусть имеется действие только напряжения σ_х. Тогда элементарный объем в направлении оси x получит относительное удлинение:

,

а в направлениях осей у и z, согласно закону Пуассона:

где μ – коэффициент Пуассона, являющийся константой только при малых деформациях и постоянной температуре.

Аналогично при действии σ_у и σ_z:

; ;

;

Согласно 2-го закона Гука:

,

где (5.1)

Обычно в экспериментах находят Е и G, а величину μ рассчитывают по (5.1).

Аналогично действия τ_уz и τ_zх вызывают сдвиги:

;

Применяя принцип суперпозиции, находим:

(5.2)

или в тензорной форме записи:

(5.3)

где δ_ij – символ Кронекера:

Формулы (5.2) и (5.3) выражают обобщенный закон Гука, справедливый только для изотропных линейно-упругих сред.

Используются и другие формы записи (5.2):

(5.4)

Уравнения (5.4) для нормальных напряжений могут быть представлены в более компактной форме:

,

где – т.н. постоянная Лямэ; Θ = 3 ε_о.