МСС

8.4 Тензоры 2-го ранга

Тензор (2-го ранга) – это переменная величина, определямая в любой системе координат n² компонентами:

(8.3)

которые при изменении системы координат преобразуются в компоненты A_i'k′ по соотношению:

A_i'k′ = а_i'_j а_k'm А _j_m , где i, k,j, m = 1, 2, … , n (8.4)

Здесь, как и везде в дальнейшем, имеется ввиду прямоугольная декартова система координат [11].

Тензоры 2-го ранга изображаются в виде матрицы их компонент

(8.3) или в сокращенной записи, а_i_j , Т_к_m и т.д., где подразумевается изменение индексов от 1 до 3 (из-за 3-мерности физического пространства).

Количество компонент тензора k зависит от его ранга p:

k = n^P ,

где n – размерность пространства.

У скаляра p= 0. Поэтому n^о = 1. Это тензор 0-го ранга.

У вектора p = 1. Поэтому n¹ = n . Это тензор 1-го ранга.

Тензоры 2-го и более высоких рангов необходимы для описания более сложных, чем векторные, физических величин. Например, для описания деформации изотропного упругого тела в точке необходимо 3²=9 чисел, а упругих свойств анизотропного – 3⁴=81 число.

Тензор можно определить и как совокупность n векторов. Например, для 3-мерного пространства:

где совокупность трех векторов преобразуется при повороте системы координат по соотношению:

Содержание