3.19 Свойства тензора скоростей деформаций

Тензор скоростей деформаций обладает всеми свойствами симметричного тензора. У него имеется бесконечное множество инвариантов, которые могут быть образованы линейными комбинациями из базисных. Три его базисных инварианта равны:

Первый инвариант есть скорость изменения относительного объема. Это следует из физического смысла дивергенции скорости:

(3.44)

Базисные инварианты являются коэффициентами его характери-

стического уравнения, по которому можно найти величины главных

скоростей деформаций:

:

Главные скорости деформаций действуют вдоль трех взаимно перпендикулярных осей, называемых главными осями скоростей деформаций. Направления главных осей не совпадают с направлениями таких же осей тензоров и .

В главных осях Т_ξ :

Сдвиги с максимальными скоростями происходят в плоскостях, проходящих через одну из главных осей и делящих угол между двумя другими пополам. Их величина равна:

Скорости удлинений в направлении нормалей к площадкам максимальных скоростей сдвигов равны:

Тензор может быть представлен в виде суммы шарового тензора скоростей деформаций, описывающего скорость изменения относительного объема сплошной среды, и девиатора скоростей деформаций, описывающего скорость изменения формы:

,

где: ,

Скорости линейных деформаций в направлениях, нормальных к октаэдрическим площадкам, равны между собой и равны средней скорости линейных деформаций:

Скорость угловой деформации в октаэдрических плоскостях:

В теории пластичности широко используются интенсивности скоростей линейных деформаций и скоростей сдвиговых дефор-маций Н:

(3.45)

Девиатор скоростей деформаций :

Первый инвариант девиатора по определению равен нулю, а уд-военный положительный корень из второго равен интенсивности ско-рости сдвиговых деформаций:

Компоненты , как и компоненты , связаны условиями совместности:

В тензорной записи: