2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах

координат

При решении задач для тел, ограниченных криволинейными поверхностями, иногда более удобными являются криволинейные системы координат, поскольку их можно подобрать так, что граничные условия будут выражаться проще. Чаще всего используются полярные координаты на плоскости, цилиндрические и сферические – в пространстве.

В цилиндрической системе координат положение точки задается радиусом ρ, углом долготы θ и аппликатой z (рис. 2.16). Эта система координат удобна при исследованиях деформирования тел, имеющих ось вращения.

Рисунок 2.16 − Цилиндрическая система координат

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым и обратно:

х₁ = ρ cosθ; х₂ = ρ sin θ ; х₃ = z

; z = х₃ ;

Уравнения равновесия приобретают следующий вид:

Частным случаем цилиндрической является полярная система координат, используемая при решении двухмерных, т.н. «плоских» задач. В ней уравнения равновесия проще:

Сферическая система координат удобна для исследований напряжено-деформированного состояния тел сферической формы.В этой системе координат положение точки задается радиус-вектором ρ, углом широты ω и углом долготы θ (рис. 2.17).

Рисунок 2.17 − Сферическая система координат

Формулы перехода от сферических координат к декартовым и обратно:

х₁ = ρ sin ω cosθ; x₂ = ρ sin ω sinθ; х₃ = ρ cos ω;

; ;

Уравнения равновесия в сферической системе: