5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования

Под действием внешних сил упругое тело деформируется и, следовательно, внешними силами совершается работа. Эта работа превращается в потенциальную энергию Э_п , которая при снятии нагрузки расходуется на восстановление первоначальной формы и объема тела. При анализе процесса деформирования в бесконечно малых окрестностях точек пространства, заполненного сплошной средой, используется понятие удельной потенциальной энергии:

(5.11)

Для определения величины э_п необходимо составить сумму произведений из компонент σ_ij и ε_ij, т.к. при делении ∆lP на объем W получим:

Поскольку напряжения и деформации увеличиваются от нуля по линейному закону, то работа напряжений будет равна половине произведения напряжения на деформацию. Например, при одноосном растягивании вдоль оси х: э_х = . В общем случае удельная потенциальная энергия равна:

э_п= , (5.12)

где работа касательных напряжений получена как произведение момента пары τ_ij на угол поворота γ_ij.

Полная э_п может быть разложена на удельную потенциальную энергию изменения объема и изменения формы тела:

э_п=э_о +э_ф,

где э_о = .

Используя (5.6), найдем:

э_о = (5.13)

Удельная энергия формоизменения определяется вычитанием:

э_ф = э_п –э_о.

После преобразований с использованием (5.9) получим:

Используя выражения для σ_окт и τ_окт через σ_о и компоненты σ_ij , найдем:

э_о= (5.14)

э_ф = (5.15)

Обобщая изложенное, можно заключить, что

Составив произведение ½ σ_i ε_i и используя выражение для интенсивности нормальных напряжений (2.35) и линейных деформаций (3.33), получим:

(5.16)

Т.е. работа интенсивности напряжений на интенсивности дефор- мации равна удельной энергии формоизменения.