4.8 Уравнение теплопроводности

Поскольку в деформируемых твердых телах передача тепла от частицы к частице происходит за счет теплопроводности, то при расчетах процессов горячей ОМД уравнение притока тепла (4.17) следует дополнить уравнением, описывающим приток тепла вследствие теплопроводности.

Количество тепла, передаваемого через произвольную поверх-ность F в единицу времени, называется тепловым потоком. Обычно тепловой поток характеризуется при помощи вектора плотности теплового потока . Он направлен в сторону понижения температуры t и зависит от градиента температур, а не от скорости движения частиц сплошной среды (имеются ввиду твердые тела, где теплопроводность обусловлена главным образом движением не атомов, а свободных электронов).

Количество теплоты, протекающее через элементарную площадку dF за время dτ равно , где – вектор внешней нормали к площадке dS. Общий приток тепла к объему W, ограниченному замкнутой поверхностью F, будет равен:

(4.18)

Знак (–) взят для того, чтобы интеграл (4.18) был положительным при притоке тепла (так как в этом случае векторы и образуют тупой угол и их скалярное произведение будет отрицательным). При отводе тепла и (рис.4.3).

t_т< t_с t_т > t_с

Рисунок 4.3 − К определению знака интеграла (4.18)

Преобразуя (4.18) при помощи теоремы Остроградского–Гаусса, получим:

(4.19)

Тогда в уравнении (4.17) остается только выяснить смысл изменения внутренней энергии dU.

Как известно, тепловое состояние любой системы, в т.ч. и объема сплошной среды, характеризуется температурой t (х_i, τ). В случае идеального газа температура пропорциональна средней кинетической энергии частиц газа, которая и будет его внутренней энергией. В твердых телах соотношение между температурой и состоянием их частиц сложнее, однако по-прежнему увеличение температуры будет соответствовать увеличению внутренней энергии системы.

При наличии теплообмена элементарный объем с массой ρdW за время dτ нагревается на градусов. Для этого требуется количество теплоты:

(4.20)

где с_m – массовая теплоемкость среды (количество теплоты, необходимое для нагрева единицы массы на 1^оС).

Проинтегрировав (4.20) по объему и учтя, что для таких сред, как металлы, увеличению внутреннего количества теплоты соответствует увеличение внутренней энергии, получим:

(4.21)

Подставив (4.19) и (4.21) в уравнение (4.17), перенеся все слагаемые в

левую часть и сократив на dτ, найдем, что:

(4.22)

Поскольку объем W был взят произвольным, то:

(4.23)

Полученное уравнение связывает изменение температуры элементарного объема с его напряженно-деформированным состоянием и мощностью истоков плотности теплового потока.

Вектор плотности теплового потока различным образом выражается через другие параметры систем для разных сред. Для металлов достаточно точным является закон теплопроводности Фурье:

, (4.24)

где λ – коэффициент теплопроводности.

С учетом (4.24) перепишем (4.23) в следующем виде:

или

или

(4.25)

где ∆ – оператор Лапласа.

Выражение (4.25) называется уравнением теплопроводности. Оно связывает напряженно-деформированное состояние среды с изменением ее температурного поля. Для его решения нужно задать краевые условия в виде совокупности начальных условий (при τ = 0) и гранич-ных условий. Доказано [9], что при известных полях и решение (4.25) в виде функции существует и оно единственно.

Контрольные вопросы к гл. "Элементы термодинамики

сплошных сред"

1. Что называется термодинамической системой?

2. Чо называется термодинамическим процессом?

3. Какие термодинамические процессы называются равновесными, об- ратимыми и необратимыми?

4. Что называется термодинамическим циклом?

5. Что называется фазовым пространством?

6. Что называется законом сохранения?

7. Какие физические системы считаются изолированными?

8. Что следует из теорем Нётер?

9. Что называется симметрией?

10.Что называется однородностью пространства?

11.Что называется изотропностью пространства?

12.Что называется однородностью времени?

13.Что следует из однородности пространства?

14.Что следует из однородности времени?

15.Что следует из изотропности пространства?

16.Почему в механике существуют скалярная и векторная меры движения?

17.Сформулируйте закон сохранения массы.

18.Что называется плотностью сплошной среды?

19.В каких случаях уравнение неразрывности переходит в уравнение несжимаемости?

20.Дать математическую формулировку теоремы "живых сил".

21.В чем суть первого начала термодинамики?

22.Как выглядит уравнение теплопроводности?