2.11 Максимальные касательные напряжения

При поворотах системы координат напряжения на гранях элементарного объема (т.е. компоненты σ_ij) изменяются. При совпадении осей с главными направлениями тензора касательные напряжения становятся минимальными – равными нулю. Выясним, при такой ориентации системы координат они примут максимальные значения.

Для этого воспользуемся уравнением (2.31), выражающим величину касательного напряжения на произвольной площадке τ_ν в зависи-мости от ее ориентации (косинусов l, m, n). Исключим из (2.31) один из направляющих косинусов, например n, воспользовавшись условием эвклидовости пространства:

(2.32)

Полученное выражение продифференцируем по l и m и резуль-таты приравняем к нулю для определения экстремумов:

(2.33)

Одно из решений системы (2.33) очевидно: l = m = 0. По (2.32)

это означает, что n = ± 1 . Имеются и другие решения. При l = 0 по

второму уравнению (2.33) получим, что . При m = 0 по

первому уравнению найдем, что . Аналогично исключая из (2.31) m и l и находя производные, получим остальные значения ко-синусов, при которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Все полученные значения направляющих косинусов занесем в таблицу:

Направляющие косинусы в первых трех столбцах соответствуют площадкам, совпадающим с координатными плоскостями. Поскольку оси главные, то это будут косинусы главных площадок. В последних трех столбцах расположены косинусы, соответствующие площадкам, проходящим через одну из 3-х главных осей и делящим пополам угол между другими главными осями. На этих площадках касательные напряжения имеют максимальные значения (рис. 2.11).

Рисунок 2.11 − Площадки максимальных касательных напряжений

Выясним, как будут ориентированы максимальные касательные напряжения в плоскостях своих площадок. Т.к. векторы подчиняются условию (2.32), то очевидно, что они будут составлять угол с той осью, через которую подходит данная площадка. Например:

l = 0 , , откуда arc cos l = .

Направление стрелок векторов , соответствующее их знакам, уравнением (2.31) определено быть не может, поскольку это уравнение квадратичное. Знак устанавливается из физического смысла решаемой задачи.

Для определения величины следует значения косинусов для площадок подставить в (2.31). Получим выражения, в которых используется условное правило индексов: 1-й индекс – уменьшаемого нормального напряжения, а 2-й – вычитаемого. Из (2.34) видно, что наибольшим по модулю напряжением будет τ₃₁:

: (2.34)

Все вышеизложенные соображения применимы только в случае симметричного тензора напряжений σ_ij, поэтому τ₃₁ = τ₁₃, τ₂₃ = τ₃₂ и τ₁₂ = τ₂₁.

В отличие от главных площадок, на площадках действуют

нормальные напряжения. Их величину и знак можно найти по (2.30),

подставив соответствующие значения косинусов:

(2.35)

Правило индексов здесь условное, как и в (2.34).