6.8 Теория пластического течения

Поскольку пластические деформации являются остаточными и зависят от пути деформирования, то уравнения описывающие эти деформации, в принципе не могут быть конечными зависимостями между компонентами σ_ij и ε_ij , но должны быть дифференциальными и при этом неинтегрируемыми соотношениями. Поэтому уравнения этой теории устанавливают связь между бесконечно малыми приращениями пластических деформаций и вызвавшими их напряжениями.

Основные положения теории пластического течения для изотропных сред:

1. Относительное изменение объема Θ является упругим и прямо пропорциональным среднему нормальному напряжению σ₀, причем связывающий их коэффициент пропорциональности такой же, как и в упругой области:

, (6.10)

где E₀- объемный модуль упругости (см. п.5.3). Сравните это с зако-ном упругого изменения объема (п.5.3).

2. Полные приращения компонент деформации состоят из приращений

компонент упругой и пластической деформации:

dε_ij= dε^e_ij + dε^p_ij, (6.11)

где индексом e обозначена упругая деформация,а индексом p - пластическая.

Приращения компонент упругой деформации связаны с приращениями компонент тензора напряжений законом Гука.

3. Компоненты девиатора приращений пластических деформаций пропорциональны компонентам девиатора напряжений:

(6.12)

где dλ – некоторый бесконечно малый множитель, о котором более подробно будет сказано в дальнейшем. Это положение следует из экспериментов по сложному нагружению, в которых направления главных осей и соотношения главных напряжений изменялись. В результате проведения этих опытов установлено, что напряженное состояние определяет мгновенные приращения компонент пластической деформации.

Поскольку объемные пластические деформации пренебрежимо малы, то d^p_ij совпадает с dε_ij и поэтому в развернутом виде соотношения третьего положения теории пластического течения будут выглядеть так:

Этих постулатов совместно с условием пластичности достаточно для построения теории течения для упруго-пластических (рис.6.9) и жестко-пластических (рис.6.11) сред.

Для упрочняющихся сред принимается гипотеза «единой кривой»

П.Людвика, в соответствии с которой существуют диаграммы деформирования, не зависящие от вида напряженного состояния и выбира-ется некоторый параметр упрочнения. Обычно в качестве меры упрочнения используют параметр Удквиста или же работу пластической деформации. На этом основании вводится последнее положение:

4. Интенсивность напряжений является функцией интеграла от интенсивности приращения пластических деформаций, не зависящая от вида напряженного состояния:

(6.13)

где

Интеграл в (6.13) и является параметром Удквиста. В (6.13) черточка над интенсивностью приращения пластических деформаций поставлена для того, чтобы отличать ее от приращения интенсивности деформаций.

При одноосном растяжении:

Это позволяет находить функцию Ф по диаграмме растяжения. Для этого нужно из каждой точки диаграммы растяжения (рис.6.13) провести прямую, параллельную участку упругости до оси абсцисс. Затем восстановить перпендикуляр до пересечения с прямой из данной точки, параллельной оси абсцисс. Полученная точка будет принадле- жать графику .

В общем случае изложенные выше положения не являются пол-

Рисунок 6.13 − К определению функции Ф

ными, т.к. содержат неопределенный множитель dλ. Если в (3.33) заменить на и воспользоваться (6.12), то получится выражения для :

Подставляя это в (6.12) и складывая компоненты упругой и пластической деформации по (6.11), будем иметь уравнения теории пластичес-кого течения Прандтля-Рёйсса (6.15), полученные Прандтлем для плоской задачи в 1924г. и Рёйссом для общего случая в 1930г.

В тензорной форме записи (6.14) они выглядят не очень сложными:

(6.14)

но в развернутом виде они довольно громоздки, что существенно зат-

рудняет их применение:

(6.14)

При наличии упрочнения уравнения Прандтля-Рёйсса дают однозначные соотношения между приращениями компонент ε_ij и нап-ряжениями и их приращениями:

(6.16)

Здесь - производная по от функции, обратной по (6.13).

В технологических процессах ОМД пластические деформации значительно превышают упругие и поэтому ими можно пренебречь без

существенной потери точности. В этом случае уравнения (6.15) принимают более простой вид:

Продифференцировав это уравнение по времени и учтя, что , где ξ_i - интенсивность скоростей деформаций по (3.45), получим зависимости компонент ξ_ij от компонент s_ij:

(6.17)

Это т.н. уравнения Сен-Венана-Леви-Мизеса. Их часто используют при расчетах процессов ОМД в несколько иной форме, учитывающей, что условие Губера-Мизеса можно представить в виде :

(6.18) ,

где H – интенсивность скоростей деформаций сдвига,

k – пластическая постоянная, равная .

Этими уравнениями скорости деформаций при задании напряжений однозначно не определяются, что характерно для идеальной пластичности и может служить ее определением; при задании скоростей деформаций компоненты s_ij определяются вполне однозначно.

6.9 Теория малых упруго-пластических деформаций

Математические трудности, связанные с теорией течения, побудили к поискам более простых, конечных соотношений между напряжениями и деформациями. Теории, устанавливающие такие зависимости, называются деформационными. Теория малых упруго-пластических деформаций является простейшим вариантом деформационных теорий.

Впервые основные уравнения данной теории при отсутствии упрочнения были предложены Г.Генки в 1924г. Влияние упрочнения было учтено Р.Шмидтом, а полный анализ и развитие этой теории вы-полнены А.А.Ильюшиным.

Основные положения теории малых упруго-пластических дефор-маций:

1.Относительное изменение объема Θ является упругим и прямо пропорциональным среднему нормальному напряжению σ₀, причем связывающий их коэффициент пропорциональности такой же, как и в упругой области:

Θ = σ₀ ∕ E₀

Таким образом, это положение совпадает с первым положением теории течения.

2. Девиаторы деформаций и напряжений пропорциональны:

d_ij = ψ s_ij , (6.19)

где ψ - некоторая функция инвариантов σ_ij и ε_ij.

Отсюда следует, что девиаторы деформаций и напряжений коаксиальны, т.е. имеют одинаковые главные направления. В развернутом виде:

В (6.19) ε₀ ≠ 0, т.к. эти соотношения распространяются как на пластическую, так и на упругую области.

3. Интенсивность напряжений является функцией интенсивности деформаций, не зависящей от вида напряженного состояния (гипотеза единой кривой ):

σ_i = f (ε_i) (6.20)

Чтобы получить функцию f из диаграммы растяжения, нужно учесть, что при одноосном растяжении σ_i =σ₁, σ₀ = σ₁ ∕ 3, а ε_i = ε – ε_0. Тогда используя (6.10), получим:

(6.21)

Следовательно, используя (6.21), можно диаграмму растяжения пересчитать в диаграмму деформирования. Пересчет сводится к изменению масштаба по оси абсцисс (рис.6.14 ).

Рисунок 6.14 − Преобразование диаграммы растяжения

в диаграмму деформирования

В пределах упругости ψ = 1 ∕ 2G. Поэтому из (6.19) имеем закон

Гука. Следовательно, в упругой области соотношения деформационной теории переходят в соотношения линейной теории упругости.

В пластической области из (6.19) получаем:

,

где - функция, обратная по (6.20).

Вид функции ψ за пределами упругости получим, подставляя (6.19) в формулу для ε_i и выражая σ_ij через компоненты σ_ij:

(6.21)

Подставляя (6.21) в (6.19), получим уравнения теории малых упруго-пластических деформаций в той форме, которую им придал А.Илью-шин:

или:

(6.22)

Уравнения (6.22) устанавливают связь между напряжениями и деформациями как в упругой, так и в пластической области. Это существенно упрощает решение задач, т.к. не требуется заранее знать границу между упругой и пластической областями. Разделить эти области можно после определения поля напряжений по условию пластичности.

Уравнения теории малых упруго-пластических деформаций, в сущности, являются уравнениями нелинейной теории упругости [28]. Применение этих уравнений для описания процессов деформации в пластической области в общем случае приводит к неудовлетворительным результатам. По уравнениям деформационной теории при нагрузке в пластической области до точки В, разгрузке до точки А и повторной нагрузке до точки В полная деформация ε₁ не изменится (рис.6.15).

Рисунок 6.15 − Влияние разгрузки на напряженно-

деформированное состояние

В действительности разгрузка будет идти за счет снятия упругой деформации линейно до т.С, а повторная нагрузка- по кривой СД и полная деформация будет равна ε₃. Таким образом, деформационная теория может согласовываться с опытом только при активной деформации, когда во всех элементарных объемах деформируемого тела монотонно возрастает. Как должны изменятся нагрузки в общем случае неоднородно нагруженного тела, чтобы все его элементарные объемы всегда были в состоянии активной деформации?

А.Ильюшин установил, что для этого процесс нагружения дол-

жен быть простым.

Простым называется такое нагружение, при котором компоненты девиатора напряжений возрастают пропорционално некоторому общему параметру.

Таким параметром может быть время, ход деформирующего инструмента и т.п. При простом нагружении ни в одном элементарном объеме ни одна компонента s_ij не должна возрастать болем интенсивно чем другие. Как обеспечить простое наружение в общем случае? К настоящему времени этот вопрос не решен. А.Ильюшиным дано частное решение этой проблемы в виде т.н. теоремы о простом нагружении:

Чтобы во всех элементарных объемах несжимаемого тела, нагруженного внешними нагрузками, возрастающими пропорционально общему параметру, процесс нагружения был простым, достаточно, чтобы диаграмма деформирования этого тела была степенной функцией вида:

,

где A,m - константы материала.

Л.Седовым установлено, при больших (конечных) деформациях в общем случае простое нагружение неосуществимо. Следовательно, теорема А.Ильюшина справедлива только при малых деформациях (что такое малые деформации – см. п.3.2).