logo
МСС

3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых

деформаций

Рассмотрим геометрическую интерпретацию компонент Тε. В прямоугольной декартовой системе координат элементарным объемом будет куб. Три деформации εх , εy и εz являются относительными линейными деформациями (см. п.3.2). Недиагональные элементы матрицы Тε, как разности недиагональных компонент тензоров (3.5) и (3.9), являются угловыми деформациями или сдвигами. Они представляют собою углы, на которые изменяются первоначально прямые углы между гранями элементарных объемов (т.к. при малых деформациях углы в радианах приблизительно равны их тангенсам) (см. рис. 3.5).

Рисунок 3.5 − Угловые деформации

Правило индексов для деформации:

Линейная деформация имеет индекс той оси, по которой происходит удлинение или укорочение ребра. Угловая деформация имеет первый индекс той оси, от которой, и второй – к которой происходит поворот грани при деформации.

Рассмотрим вопрос о порядке расположения индексов в обозначениях угловых деформаций. Изображенные на рис. 3.6 а), б), в) сдвиги одинаковы, т.к. деформацию рис. 3.6 а) можно получить из деформации рис. 3.6 б) жестким поворотом элементарного объема, без дополнительной деформации. Вариант рис. 3.6 в) эквивалентен вариантам а) и б).

а) б) в)

Рисунок 3.6 − Взаимность сдвигов

Следовательно, в случае малых деформаций имеют место соотно-шения:

γху = γух; γуz = γ zу; γxz = γzx,

которые называются взаимностью сдвигов.

Коэффициенты ½ в тензоре (3.12) взяты для того, чтобы сделать его симметричным.

Правило знаков для деформаций:

Линейная деформация имеет знак (+), если происходит удлинение ребра куба и наоборот.

Знак угловой деформации находится по выражению:

где признак β1 имеет знак ( + ), если угол между гранями элементарного объема при деформации уменьшается;

признак β2 имеет знак ( + ), если ось, от которой происходит поворот грани имеет положительное направление;

признак β3 имеет знак ( + ), если ось, к которой происходит поворот грани, имеет положительное направление.

Примеры применения правил индексов и знаков приведены на рисунке 3.7.

Рисунок 3.7 − Примеры на правила индексов и знаков