5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях

В этом случае все неизвестные в системе (5.17) выражаются через смещения u_i (перемещения). Поскольку компонент вектора смещений только три, то число уравнений в системе уменьшается с 15 до трех. Возьмем первое, четвертое и шестое уравнения системы (5.5) и заменим в них деформации через компоненты u_i:

Дифференцируя полученное по х, у, z, найдем:

Произведя замены в первом уравнении равновесия:

получим:

Первую скобку можно представить в виде:

Следовательно:

Аналогично преобразуются два остальных уравнения равновесия, в результате чего получается система уравнений относительно смещений, называемых уравнениями Лямэ:

(5.18)

Соотношения Коши для статических граничных условий также можно преобразовать, выразив напряжение через перемещения:

и т.д.

После преобразований получим:

(5.19)

Уравнения Лямэ (5.18) совместно с граничными условиями

(5.19) позволяют решать задачи теории упругости в перемещениях. Имеются многочисленные, хорошо отработанные пакеты прикладных программ для численного решения задач теории упругости в перемещениях. Недостаток этого подхода – сравнительно низкая точность определения напряжений вследствие накопления ошибок при расчете.