7.8. Свойства линий скольжения

Линии скольжения обладают рядом свойств, изученных в основном Г.Генки и Л.Прандтлем, которые позволяют строить СЛС буквально при помощи линейки и транспортира. Свойства эти выражены в виде теорем о ЛС. Рассмотрим некоторые важнейшие из свойств ЛС.

1. Первая теорема Генки:

При переходе от одной ЛС к другой одного семейства вдоль ЛС другого семейства изменения величин и не зависят от того, по какой ЛС другого семейства совершался переход.

Обозначим параметры ζ и λ ЛС а₁,а₂,b₁,b₂ соответственно через ζ₁,ζ₂,λ₁ и λ₂. Точки пересечения ЛС разных семейств называются узлами СЛС. Обозначим их буквами А с индексами. Тогда по (7.24) для узлов А₁₁,А₁₂,А₂₁ и А₂₂ будем иметь:

Геометрическая интерпретация этих соотношений показана на рисунке 7.20.

Рисунок 7.20 − К докакзательству 1-й теормы Генки

Отсюда следует:

что и требовалось доказать.

Полученные соотношения геометрически интерпретируются

следующим образом:

угол пересечения касательных к двум линиям скольжения одного семейства в узлах пересечения линиями скольжения другого семейства неп зависит от выбора линий скольжения другого семейства.

Следствием из 1-й теоремы Генки являются утверждения:

1. Если некоторый отрезок линии скольжения одного семейства (b) между двумя линиями скольжения другого семейства (а) будет прямым, то и все остальные отрезки линий скольжения этого семейства, проходящие между этими же линиями скольжения другого семейства, также будут прямыми, причем длина их будет оди-

наковой (рис.7.21):

Рисунок 7.21 − Следствие из 1-й теоремы Генки

2. Вдоль линии скольжения напряжение σ₀ меняется пропорционально углу θ.

Действительно, из (7.23) следует, что:

для семейств а и b соответственно.

3. Если известно значение σ₀ в каком-либо узле СЛС, то оно может быть определено в любом узле сетки.

Пусть в узле А известно σ_0А. Т.к. сетка известна (рис.7.22), то θ_А

Рисунок 7.22 − Определение в узлах СЛС

тоже известен. Тогда . В узле B находим:

и .

Отсюда получаем:

.