8.14 Поток и дивергенция векторного поля

Эти параметры векторного поля определяются следующим образом. Пусть векторное поле образовано вектор-функцией [43]:

. (8.10)

Возьмем в поле произвольную поверхность S и выберем на ней опреде-ленную сторону с единичным вектором нормали к ней (рис. 8.5).

Рисунок 8.5 − К определению потока векторного поля

Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля и вектора нормали к поверхности S (т.е. от проекции вектора поля на направление нормали к этой поверхности):

Поток вектора – величина скалярная (скалярное произведение и

). Если изменить сторону поверхности S, то поток изменит свой знак на противоположный).

Физическим смыслом потока векторного поля скорости несжимаемой жидкости является объем жидкости, протекающей в единицу времени через данную поверхность.

Поток характеризует поведение векторного поля интегрально, по некоторой поверхности. Локальной, точечной характеристикой поля является дивергенция. Окружим некоторую точку векторного поля замкнутой поверхностью S. Найдем предел отношения потока через эту поверхность к ее объему при условии, что

Предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что объем стремится к нулю, называется дивергенцией поля в точке .

Если дивергенция больше нуля, то данная точка называется источником, если дивергенция меньше нуля, то - стоком. Величина дивергенции характеризует мощность источника или стока. Если функции А_х, А_у и А_z непрерывны вместе со своими производными, то дивергенция существует. Дивергенция - скаляр, т.к. является результатом скалярного произведения двух векторов: