logo
МСС

5.8 Плоское напряженное состояние*

На практике иногда встречаются задачи, в которых объемное напряженно–деформированное состояние (НДС) весьма близко к какому-то частному случаю из-за малости отдельных компонент и (или) . Если этими компонентами пренебречь, то будем иметь дело с осесимметричным или плоским видом НДС, которые значительно проще общего случая. Поэтому один из способов решения задач теории упругости является замена объемного НДС его плоской или осесимметричной моделью, что облегчает решение.

Плоское напряженное состояние (ПНС) имеет место при деформации тонкой пластины (пластина считается тонкой, если ее толщина намного, на несколько порядков, меньше двух других ее размеров) силами, приложенными в ее срединной плоскости или равномерно распределенными по ее толщине (рис.5.3).

В этом случае компоненты тензора напряжений σz, τхz и τуz равны

Рисунок 5.3 − Плоское напряженное состояние

нулю (по определению) на плоских поверхностях пластины, и настолько малы по всей толщине пластины (из-за малости толщины), что ими можно пренебречь. По этой же причине три остальные компоненты σz, τхz и τуz можно считать не изменяющимися по толщине h. Вследствие этого изменения отличных от нуля компонент σij будут происходить в плоскости ХОУ и напряженное состояние будет плоским.

Тензоры напряжений и деформаций при ПНС:

(5.21)

Деформированное состояние будет объемным, т.к. толщина пластины изменяется. Отсутствие γyz и γzx проявляется как отсутствие депланации пластины, для которой нет причин (напряжений τуz и τzх).

Величину εz можно найти из закона Гука:

Уравнения ПНС будут следующими:

– равновесия:

–Коши: (5.22)

– Гука:

Система (5.22) содержит 9 уравнений для 8 неизвестных. Переопределенность устраняется уравнением совместности (5.23):

(5.23)

Для решения задачи ПНС по методу перемещений для двух неизвестных uх и uу имеется 2 уравнения, получаемых аналогично уравнениям Лямэ общего случая:

(5.24)

где

Граничные условия (5.19) также соответственно упрощаются.

При решении в напряжениях имеется три неизвестных функции:

σх(х,у), σу(х,у) и τху(х,у). Чтобы получить замкнутую систему уравнений, из (5.23) исключают деформации при помощи закона Гука:

(5.25)

В ОМД объемные силы пренебрежимо малы по сравнению с поверхностными, поэтому ими можно пренебречь. Тогда дифференци-руя первое уравнение равновесия системы (5.22) по х, а второе по у и складывая их, будем иметь:

Подставляя полученное в (5.25), получим уравнение Леви:

или (5.26)

Т.о. при ПНС статическая задача является определимой:

(5.27)