8.15 Циркуляция и ротор векторного поля

Пусть поле образовано вектор-функцией (8.10). Введем в это поле замкнутую кривую (контур) L и выберем на ней положительное направление обхода так, чтобы внутренняя часть контура была слева. (рис.8.6).

Рисунок 8.6 − К определению циркуляции

Обозначим как вектор, имеющий направление касательной к

этой кривой в данной точке и по модулю равный дифференциалу длины дуги(направление касательной считается совпадающим с направлением кривой) [43]. В таком случае вектор будет иметь проекции:

.

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора на вектор касательной к контуру называется циркуляцией вектора :

(8.11)

В силовом поле циркуляция является работой вдоль замкнутого контура. Циркуляция – величина скалярная. Если подинтегральное выражение (8.11) является полным дифференциалом, а векторное поле занимает односвязную область, то циркуляция по любому контуру равна нулю. Такие векторные поля называются потенциальными. В произвольном векторном поле циркуляция зависит от выбора контура L. При изменении направления L она изменяет свой знак на обратный. В неоднородном векторном поле циркуляция будет величиной переменной. Чтобы характеризовать «вращательные» свойства векторного поля в точке, т.е. независимо от площади контура L, используется понятие ротора векторного поля.

Ротор - это предел отношения интеграла по замкнутой поверхности S от векторного произведения векторов поля и нор-мали к поверхности, к объему W, ограниченному этой поверх-ностью:

Ротор может быть определен и через циркуляцию вектора. Рассмотрим предел отношения циркуляции по плоскому контуру L, окру-

жающему точку М, к площади S, ограниченной этим контуром при условии, что контур L, стягиваясь в точку, остается в одной и той же плоскости:

где правая часть следует из теоремы Стокса. Она является скалярным произведением двух векторов: единичного вектора нормали (соs α; соs β; соs γ) к плоскости контура L и ротора векторного поля, который в координатной форме имеет вид:

Проекция на направление и дает предел циркуляции вектора поля по контуру с нормалью к площади, ограниченной этим контуром. Например, для магнитного поля прямолинейного проводника с током (рис.8.7):

Рисунок 8.7 − Ротор магнитного поля

по направлению совпадает с проводником (ось OZ) и является максимальным значением отношения циркуляции к площади контура По любому другому контуру (нормаль которого не совпадает с проводником) это отношение будет меньше.

В векторной форме теорема Стокса выглядит так:

т.е. поток ротора поля через поверхность S равен циркуляции вектора этого поля по границе L этой поверхности.

Пример: вычислить ротор векторного поля: