2.9 Главные напряжения

Известно, что любой симметричный тензор можно привести к диагональному виду, в котором все недиагональные элементы матрицы обращаются в нуль, а три диагональных элемента, называемые собственными значениями тензора, являются проекциями вектора, определяющего главное направление тензора. В случае тензора напряжений σ_ij :

(2.19)

Т ри взаимно перпендикулярные проекции вектора главного направления задают ортогональную систему координат, оси которой называются главными осями и обозначаются цифрами 1, 2, 3 (рис. 2.9).

Рисунок 2.9 − Главные оси тензора напряжений

Главные оси – это оси такой декартовой системы координат, в которой на гранях элементарного объема действуют только главные напряжения.

Главные напряжения – это нормальные напряжения на глав-ных площадках.

Главные площадки – это площадки, на которых отсутству-

ют касательные напряжения.

Т.о. для симметричного тензора напряжений всегда можно найти такую ориентацию системы координат, в которой касательные напряжения на гранях элементарного объема исчезнут, и останутся только нормальные. Для главных напряжений принято правило индексов:

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ (2.20)

Главные напряжения σ₁ (максимальное) и σ₃ (минимальное) являются экстремальными значениями нормального напряжения σ_n на всевозможно ориентированных площадках, проходящих через данную точку. Напряжение σ₂ называется средним.

Главные напряжения не зависят от выбора системы координат и изменяются только при изменении напряженного состояния в точке.

Из вышеизложенного следует, что любое напряженное состояние можно вызвать растяжением и сжатием элементарного объема в 3-х взаимно перпендикулярных направлениях. Описание напряженных состояний в главных осях существенно облегчает их классификацию и изучение.

Величину главных напряжений можно найти из характерис-тического уравнения тензора, которое для σ_ij имеет вид:

σ³ – I₁ (σ_ij ) σ ² + I₂ (σ_ij) σ – I₃ (σ_ij ) = 0 , (2.21)

где I_к (σ_ij ) – т.н. базисные инварианты тензора напряжений.

Инвариант – величина, составленная из компонент тензора и не изменяющаяся при изменении системы координат.

У σ_ij , как и любого другого тензора 2-го ранга, имеется 3 базис-ных инварианта:

– линейный (первый):

I₁ ( σ_ij ) = σ_х + σ_y + σ_z = const

– квадратичный (второй):

I₂ ( σ_ij ) = σ_х σ_у + σ_y σ_z + σ_z σ_x – τ_xy² – τ_yz²– τ_zx² = const (2.22)

– кубический (третий):

I₃ ( σ_ij ) = σ_х σ_у σ_z + 2 τ_yz τ_zx τ_xy – σ_x τ_yz² – σ_y τ_xz² – σ_z τ_xy² = const

Линейными преобразованиями из базисных инвариантов можно получить бесконечное множество других инвариантов.

Инварианты являются основными характеристиками напряжен-ного состояния в точке. Их используют для сравнения напряженных состояний в разных точках или в одной и той же точке на разных эта-пах нагружения.

В главных осях выражения для базисных инвариантов упроща-ются:

I₁ ( σ_ij ) = σ₁ + σ₂ + σ₃ = const

I₂( σ_ij ) = σ₁ σ₂ + σ₂ σ₃ + σ₃ σ₁ = const (2.23)

I₃ ( σ_ij ) = σ₁ σ₂ σ₃

Для определения направления главных напряжений, задаваемых направляющими косинусами l_i , m_i , n_i ( i = 1, 2, 3 ), нужно восполь-зоваться системой уравнений произведения σ_ij на вектор главного направления:

(σ_x – σ_i ) l_i + τ_yx m_i + τ_zx n_i = 0

τ_xуl_i + (σ_у – σ_i ) m_i + τ_уz n_i = 0 (2.24)

τ_zx l_i + τ_zy m_i + (σ_z – σ_i ) n_i = 0