2.4 Тензор напряжений

Из вышесказанного следует, что напряженное состояние задано, если известны его 9 компонент. Т.о., если напряжение – вектор, то напряженное состояние в точке вектором быть не может, т.к. выражается не через n, а через n² компонент (где n – размерность пространства).

Известно [11], что переменная величина р_ij, определяемая в любой системе декартовых координат n² компонентами, является тензором (2-го ранга), если при поворотах системы координат компоненты преобразуются по соотношению:

р_{i' j'} = a_i'l a_jm p_lm, (2.11)

где a_i'l, a_j'm – косинусы углов между осями старой и новой систем координат; i^', j^', l, m = 1, 2, . . . n.

Можно показать, что 9 компонент напряженного состояния в точке действительно образуют тензор 2-го ранга (в дальнейшем – просто тензор).

Тензор, компонентами которого являются напряжения на гранях элементарного объема, называется тензором напряжений.

Далее тензор напряжений будем обозначать Т_σ или, в тензорной записи, буквой с двумя индексами: σ_ij. Векторы в такой записи обозна-чаются буквой с одним индексом. Например, вектор скорости – V_i.

Компоненты тензора напряжений Т_σ изображают в виде матрицы:

или (2.12)