2.10 Нормальные и касательные напряжения

на произвольных площадках

По соотношениям Коши можно найти компоненты полного напряжения, действующего на любой площадке, если известен тензор напряжений. Однако компоненты , , не являются ни нормальными, ни касательными напряжениями и поэтому не подходят для анализа напряженно-деформированного состояния.

Найдем нормальное σ_ν и касательное τ_ν напряжения на площадке, для которой известен вектор нормали . Для этого вектор полного напряжения нужно спроектировать на нормаль и касательную к площадке (рис.2.10).

Рисунок 2.10 − К определению напряжений на произвольных

площадках

Скалярное произведение на даст модуль нормального на-пряжения:

│σ_ν│= = p_νxl + p_νym + p_νzn (2.26)

Выразив p_ij через компоненты σ_ij по (2.10), получим:

|σ_ν|=(σ_хl²+τ_yxml+τ_zxnl)+(τ_xylm+σ_ym²+τ_zynm)+(τ_xzlm+τ_yzmn+σ_zn²)

Если тензор σ_ij симметричен, то выражение упрощается:

(2.27)

Модуль касательного напряжения находится из соотношения:

(2.28)

Чтобы узнать направление τ_ν, нужно определить три направля-ющих косинуса:

Проекции касательного напряжения на оси координат:

Отсюда получим:

Легко убедиться, что сумма квадратов этих косинусов тождест-венно равна единице.

Направление σ_ν , естественно, совпадает с нормалью .

Если σ_ij задан в главных осях, то выражение для напряжений на

произвольно ориентированных площадках существенно упрощаются:

(2.29)

‌ (2.30)

(2.31)