2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*

Выразим компоненты р_i'к' тензора напряжений в новой (штрихованной) системе координат через его компоненты p_lm в старой (не штрихованной) системе. В соответствии с соотношением Коши (2.7) векторы полных напряжений на площадках, нормальных к осям новой системы координат х₁^', х₂^', х₃^', которая развернута в пространстве отно-сительно исходной (рис. 2.5), будут равны следующему:

Рисунок 2.5 − К доказательству тензорности напряженного состояния

(2.13)

В тензорной записи:

(2.14)

где а_i'l = cos ﴾x_i' , x_l﴿ – направляющие косинусы углов между i^'-ой осью новой системы координат и l-ой осью старой.

Перейдем от векторов к их скалярным компонентам . Для этого вспомним, что каждый вектор в физическом пространстве имеет по три компоненты и поэтому вместо следует записать . Векторы в старой системе будут иметь компоненты p_lm. Однако в новой системе эти компоненты преобразуются по закону преобразования компонент любого вектора при поворотах системы координат (см.8.1):

А_к' = a_k'm A_m

В нашем случае в новой системе координат: а_к'm p_lm . Подставляя в (2.14) вместо и полученные выражения, будем иметь:

Сравнивая с (2.11) видим, что компоненты напряженного состояния действительно преобразовываются при повороте системы координат по тензорному закону.

Следовательно, напряженное состояние в точке действительно

является тензорной переменной и не может быть выражено вектором, в отличие от напряжения в точке. Это существенно усложняет все соотношения МСС, т.к. тензор имеет минимум в два раза больше компонент, чем вектор.