8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров

Тензор называется симметричным, если при перестановке какой-либо пары индексов значения его компонент не изменяются:

.

У симметричного тензора компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой:

Если при перестановке какой-либо пары индексов компоненты тензора меняют знак, то такой тензор называется антисимметричным. У антисимметричного тензора компоненты, лежащие на главной диагонали, равны нулю, а компоненты, симметричные относительно главной диагонали, равны, но имеют противоположные знаки:

Антисимметричный тензор 2-го ранга также называется бивектором. Иногда его называют кососимметричным тензором.

Антисимметричность тензоров, как и симметричность не зависит от выбора системы координат, что следует из (8.4).

По определению, тензор равен нулю, если все его компоненты равны нулю. Такой тензор называется нулевым тензором.

Если у произвольного тензора поменять местами индексы, то получим новый тензор, транспонированный относительно исходного:

Любой тензор А_iк может быть представлен в виде суммы симметричного Т_iк и антисимметричного S_iк тензоров:

Тензор симметричный, т.к. Т_ik = Т_ki:

Тензор антисимметричный, т.к. S_ik = - S_ki :

Получение симметричного и антисимметричного тензоров из исходного называется соответственно симметрированием и альтерниро-ванием.

Пример: Пусть исходный тензор имеет вид:

Тогда :