8.5 Преобразование компонент тензора

При повороте системы координат компоненты тензора 2-го ранга (в дальнейшем – просто тензора) преобразуются по (8.4). В развернутом виде это будет 9 сумм по 9 слагаемых в каждой:

= а_1′1а_1′1А₁₁+а_1′1а_1′2А₁₂ + а_1′1а_1′3А₁₃ + а_1′2а_1′1А_{2 1} + а_1′2а_1′2А₂₂

+а_1′2а_1′3А₂₃+а_1′3а_1′1А₃₁+а_1′3а_1′2А₃₂+а_1′3а_1′3А₃₃;

= а_1′1а_2′1А₁₁ + а_1′1а_2′2А₁₂ + а_1′1а_2′3А₁₃ + а_1′2а_2′1А₂₁ + а_1′2а_2′2А₂₂

+ а_1′2а_2′3А₂₃ + а_1′3а_2′1А₃₁ + а_1′3а_2′2А₃₂ + а_1′3а_2τ3А₃₃ ;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

= а_3′1а_3′1А₁₁ + а_3′1а_3′2А₁₂ + а_3′1а_3′3А₁₃ + а_3′2а_3′1А₂₁ + а_3′2а_3′2А₂₂

+ а_3′2а_3′3А₂₃ + а_3′3а_3′1А₃₁ + а_3′3а_3′2А₃₂ + а_3′3а_3′3А_33.

Т.о., чтобы определить компоненты тензора в новой системе ко-ординат, нужно знать его компоненты в старой и девять направляющих косинусов углов между осями старой и новой систем координат.