6.10 Постулат Друкера и ассоциированный закон

течения*

Процессы пластического деформирования таких поликристаллическиих тел, как металлы, особенно в горячем состоянии, весьма сложны. Ранее указывалось, что в связи с этим еще не создана теория пластичности, которая бы описывала их исчерпывающим образом. Как деформационная теория, так и теория течения являются приближенными моделями этих процессов. Поэтому возникает вопрос: каковы границы применимости этих моделей? Чтобы на него ответить, нужно несколько глубже вникнуть в основания, на которых построены указанные теории. Этими основаниями являются постулат Друкера и ассоциированный закон течения совместно с условием непрерывности перехода пластических деформаций в упругие при непрерывном изменении направления вектора догружения .

Известно, что по своим реологическим свойствам металлы не одинаковы. Все холоднодеформируемые металлы и сплавы и начальные стадии их горячего деформирования имеют монотонно возрас-

таюющие диаграммы деформирования (рис.6.16).

Рисунок 6.16 Рисунок 6.17

Все углеродистые и большинство легированных сталей при температурах горячего деформирования имеют один максимум на диаграмме деформирования (рис.6.17). Цветные металлы и сплавы характерны еще большей реологической сложностью, т.к. имеют два и более экстремума [29].

В случае рис.6.16 дополнительное нагружение вызывает дополнительную деформацию и работа добавочных напряже-ний на дополнительных деформациях будет положительной: . В случае рис.6.17 кривая имеет нисходящую ветвь и де-формация продолжается при убывающей интенсивности напряжений в результате разупрочнения металла. На нисходящей ветви дополнительные напряжения выполняют отрицательную работу на дополнительных деформациях: < 0, что уменьшает всю работу.

Рассмотрим, следуя [28], процесс пластической деформации с упрочнением (рис.6.16), поскольку постулат Друкера обобщает выводы относительно монотонно упрочняющихся сред.

Пусть элементарный объем деформируемого тела, способного упрочняться, находится в некотором исходном напряженном состянии . Увеличим степень деформации этого элементарного объема, что приведет к возникновению добавочных напряжений, а затем снимем их. Будем считать, что процесс идет достаточно медленно для того, чтобы он был изотермическим. При выполнении этих условий Д.Друкер постулировал, что при любом напряженном состоянии:

1. В процессе нагружения добавочные напряжения производят положительную работу.

2. За весь цикл дополнительного нагружения и разгрузки добавочные напряжения выполняют положительную работу, если возникли плас-тические деформации; работа будет равна нулю только при упругих деформациях.

Из постулата Друкера следует ряд важных неравенств. Пусть F – текущее положение поверхности нагружения в 9^ти-мерном пространстве напряжений (рис.6.18):

Рисунок 6.18 − К обоснованию постулата Друкера

Рассмотрим некоторый путь нагружения от начальной точки А с напряженным состоянием в упругой зоне до точки В в пластической зоне, лежащей на поверхности текучести. Из состояния в точке В произведем бесконечно малое догружение , вызывающее соответствующие упругую и пластическую деформации. Поскольку материал изотропно упрочняем, то поверхность текучести равномерно расширяется (эффектом Баушингера пренебрегаем, следовательно, трансляционное смещение будет отсутствовать) и новое напряженное состояние будет изображаться точкой С на поверхности F^′(рис.6.18). Затем осуществим разгрузку по какому либо пути СА. В соответствии с постулатом Друкера работа добавочных напряжений за весь цикл положительна, т.е. интеграл:

Т.к. цикл АВСА замкнут, то работа добавочных напряжений на упругих деформациях равна нулю. Поэтому:

Поскольку пластические деформации происходят только на бесконечно малом участке ВС, то последнее неравенство можно представить в виде:

(6.23)

Это неравенство называется локальным принципом максимума.

Равенство нулю для упрочняющихся материалов возможно только при упругих деформациях.

Если цикл нагружения-разгрузки будет начинаться в точке В с исходным напряженным состоянием на поверхности F, то вследствие постулата Друкера:

1. Для нагружения ВС -

2. Для нагружения и разгрузки ВСВ - .

Согласно (6.23) скалярное произведение вектора добавочных напряжений (вектора АВ по рис.6.19а) и вектора приращений пластических деформаций положительно. Следовательно, эти векторы всегда должны образовывать между собой острый угол. Отсюда вытекает необходимость выпуклости поверхности нагружения (см. п.6.3) и нормальность вектора к поверхности F.

Действительно, если поверхность нагружения F выпукла, то ус-

а) б)

Рисунок 6.19 − Обоснование выпуклости поверхности нагружения

ловие (6.23) будет выполняться только в том случае, когда вектор нормален к F. В противном случае всегда можно найти вектор , образующий с тупой угол. В крайнем случае, когда совпадает с касательной к F, работа (6.23) будет равна нулю (см. ниже).

Если поверхность нагружения F^* не выпукла (рис.6.19б), то неза-

висимо от наклона к поверхности F^*, всегда можно найти найти точку А такую, что вектор будет образовывать с тупой угол, что противоречит постулату Друкера. Отсюда вытекает необходимость ассоциированного закона течения.

Суть его в следующем. Уравнения теории течения можно представить через пластический потенциал в 9-мерном пространстве напряжений:

(6.24)

По условию несжимаемости , поскольку пластическое изменение объема пренебрежимо мало. Отсюда:

Пластический потенциал – это некоторая скалярная функция в пространстве напряжений, частные производные от которой дают величины, пропорциональные компонентам приращений пластической деформации. Иначе говоря, градиент от по векторному аргументу дает вектор, пропорцииональный ( имеется ввиду, что тензор напряжений в 9-мерном пространстве напряжений является вектором с 9 компонентами). Уравнение определяет поверхности уровня пластического потенциала. Т.к. градиент всегда нормален к поверхности уровня, то (6.24) означает, что вектор пластического течения всегда направлен по нормали к поверхности пластического потенциала.

Далее постулируется, что функция текучести и пластический потенциал совпадают:

Это простейший вариант теории; в нем легко доказываются теоремы существования и устанавливаются экстремальные принципы. Поэтому:

(6.25)

Отсюда следует, что пластическое течение развивается по нормали к поверхности течения (рис.6.21а).

Если принимается условие пластичности Губера-Мизеса:

то тогда:

,

и уравнения (6.25) принимают вид:

Это не что иное, как вторая предпосылка теории течения.

Зависимости (6.25) называются ассоциированным законом течения, поскольку в нем пластическое течение ассоциируется с условием текучести. Ассоциированный закон позволяет легко получать новые варианты теории течения посредством введения условий пластичности более сложного вида, чем условие Губера-Мизеса.

Следовательно, постулат Друкера требует выпуклости поверхности текучести и нормальности вектора пластического течения к поверхности F, т.е. ассоциированного закона течения.

В случае идеальной пластичности (диаграмма рис.6.9) поверх-ность нагружения фиксирована. Поскольку в этом случае в пластической области , то работа деформирования Вектор догружения должен лежать в касательной плоскости к поверхности текучести и должен вызывать одни только упругие деформации. Это следует из необходимости непрерывного перехода пластических деформаций в упругие при непрерывном изменении направления вектора догружения и называется условием непрерывности. Поскольку работа деформирования равна нулю, то требование положительности работы добавочных напряжений заменяется требованием ее неотрицательности. В таком виде постулат Друкера справедлив и для идеально-пластических сред. Неравенство (6.23) приобретает вид:

Что касается случая деформации с разупрочнением, то постулат

Друкера, в существующем виде, к нему не применим. Если же разупрочнение анизотропно, то сомнительна применимость и всей теории течения.