1.6 Переменные Лагранжа и Эйлера

При деформировании твердых тел элементарные объемы переме-щаются из своего первоначального положения по некоторым траекто-риям, изменяют свою форму и ориентацию в пространстве (рис.1.4):

Рисунок 1.4 − Изменение элементарного объема при деформировании

Существует два способа описания движения сплошных сред. В

первом из них, связанном с именем Лагранжа, частицы среды (т.е. элементарные объемы) индивидуализируются в начальном сосоянии их координатами Х_i, У_i, Z_i (где i – номер частицы). Во время движения изучают перемещения, скорости, деформации частиц или изменения их плотности, температуры и т.п. Иначе говоря, параметры движения и состояния рассматриваются как функции времени и начальных коор-

динат, индивидуализирующих каждую частицу.

Текущие координаты i - той частицы в этом случае выражаются

функциями, называемыми законом движения континуума:

х_i = f₁ (X_i, Y_i, Z_i τ)

у_i = f₂ (X_i, Y_i, Z_i, τ) (1.1)

z_i = f₃ (X_i, Y_i, Z_i, τ),

где X_i, Y_i, Z_i - координаты i – той частицы при τ = 0. Эти координаты называются переменными Лагранжа. Описание движения в форме (1.1) позволяет найти положение любой частицы в момент времени τ, если известны ее координаты в момент τ = 0.

Описание движения по Лагранжу – частицы сплошной среды индивидуализируются их начальными координатами и во время движения изучается изменение состояния каждой частицы.

Использование в качестве независимых переменных X_i, Y_i, Z_i и τ составляет точку зрения Лагранжа на движение сплошной среды, ко-торая существенным образом учитывает историю движения каждой частицы в отдельности. Такое описание часто оказывается слишком подробным и сложным для практики, но оно всегда подразумевается при формулировке физических законов, поскольку последние всегда относятся к частицам вещества, а не к точкам пространства. Зная закон движения (1.1), можно дифференцированием определить скорость и ускорение каждой частицы сплошной среды как частные производные по времени.

Второй подход, развитый Эйлером, состоит в изучении пространства, заполненного сплошной средой. В интересующих исследователя точках пространства в определенные моменты времени определяются скорости, ускорения, деформации, температуры и т.д. частиц среды, попадающих в эти моменты времени в точки пространства. Сле-довательно, параметры движения рассматриваются как функции време-

ни и координат интересующих точек пространства.

Описание движения по Эйлеру – индивидуализируются точки пространства и в них в определенные моменты времени изучаются параметры частиц, находящихся в этих точках.

Известно, что если каждой точке пространства поставлена в соответствие скалярная, векторная или тензорная величина, то таким образом задано соответствующее поле. Поэтому в подходе Эйлера объектами изучения являются математические поля, а не частицы сплошной среды.

Если разрешить закон движения континуума (1.1) относительно переменных Лагранжа, то получим описание движения в форме Эйлера (1.2), которое более удобно для решения различных задач и поэтому в приложениях используется чаще:

X_i = φ₁ (х_i, у_i, z_i, τ)

Y_i = φ₂ (х_i, у_i, z_i, τ) (1.2)

Z_i = φ₃ ( х_i, у_i, z_i, τ).

В (1.2) переменными будут координаты точек пространства, называемые переменными Эйлера. Зная (1.2), можно в любой момент времени τ найти, частица с какими начальными координатами X_i, Y_i, Z_i пришла в точку х_i, у_i, z_i в момент времени τ.

Продифференцировав (1.2) по времени, получим скорости частиц в данных точках пространства. Т.о. по Эйлеру скорости в некоторых точках пространства изменяются еще и потому, что туда приходят другие частицы, тогда как по Лагранжу изменение скорости каждой индивидуальной частицы обусловлено физическими причинами.

Описание движения по Эйлеру не учитывает его истории, однако

существенно упрощает математическое выражение механических за-

дач.