6.3 Условия пластичности

Условия пластичности – это условия, определяющие переход материалов из упругого в пластическое состояние в общем случае сложного напряженного состояния.

Ранее было показано, что при линейном напряженном состоянии (при одноосном растяжении), переход в пластическое состояние зависит от σ₁. Очевидно, что при объемном напряженном состоянии такой переход будет предопределяться всеми тремя главными напряжения-

ми, т.е. будет функцией:

F (σ₁, σ₂, σ₃) = σ_т (6.1)

Но поскольку переход в пластическое состояние не зависит от выбора системы координат, то функция (6.1), по крайней мере для изотропных сред, должна быть выражена в виде зависимости от инвариантов тензора σ_ij :

F*[I₁ (σ_ij), I₂ (σ_ij), I₃ (σ_ij)] = σ_т

Экспериментально установлено, что σ_о практически не влияет на пластическое формоизменение. Поэтому любое условие пластичности должно быть функцией инвариантов девиатора напряжений. Учитывая, что I₁ (S_ij) ≡ 0, получаем:

F' [I₂ (S_ij), I₃ (S_ij)] = σ_т (6.2)

В пространстве напряжений уравнению (6.2) соответствует цилиндрическая (не обязательно круговая) поверхность, ось которой равнонаклонена к осям системы координат (рис. 6.2):

Рисунок 6.2 − Поверхность текучести

Если напряженное состояние соответствует точкам, лежащим внутри цилиндрической поверхности, то материал будет находиться в упругом состоянии. Если на поверхности – в пластическом состоянии. Вне данной поверхности точки лежать не могут, поскольку возникновение напряжений, больших σ_т, невозможно.

При изотропном упрочнении цилиндрическая поверхность, называемая поверхностью текучести, непрерывно и равномерно расширяется, что соответствует росту σ_и с увеличением степени деформации. Поэтому точки, соответствующие напряжениям в материале, когда он находится в пластическом состоянии, остаются на поверхности текучести.

В случае реологически сложных материалов [29], когда диаграмма деформирования σ_i = f (ε_i) имеет один или несколько экстремумов, участкам спада соответствует сжатие поверхности текучести.

Конкретный вид функции (6.2) определяет то или иное условие пластичности. Однако для любого его вида характерно следующее:

– поскольку σ_о не входит в (6.2), то все образующие поверхности текучести должны быть перпендикулярны девиаторной плоскости (проходящей через начало координат пространства напряжений и равнонаклоненной к главным осям). Поэтому достаточно рассмотреть след этого цилиндра на девиаторной плоскости в виде контура текучести (6.3);

– контур текучести не должен проходить через начало системы координат, т.к. пластические деформации возникают лишь при значительных напряжениях;

– луч, выходящий из начала системы координат, должен пересекать контур текучести только один раз (иначе существовало бы два подобных напряженных состояния, удовлетворяющих условию начала пластического течения);

– контур текучести должен быть симметричен относительно осей 1', 2', 3' (проекций осей 1, 2, 3 на девиаторную плоскость), так как эти оси равноправны вследствие изотропности металла;

– контур должен быть симметричен относительно прямых, перпендикулярных к осям 1', 2', 3' , т.к. предполагается, что механические свойства металла при растяжении и сжатии одинаковы (эффект Баушингера не учитывается);

– наконец, контур текучести должен быть выпуклой кривой, если принимается постулат Друкера (см. ниже).

а) б)

Рисунок 6.3 − Контур текучести

Если принять все вышеизложенное, то контур текучести должен состоять из 12 одинаковых дуг (рис.6.3а). Следовательно, любое условие пластичности должно иметь контур, заключенный между двумя правильными шестиугольниками (рис. 6.3б). Окружность с радиусом будет вписана в один из шестигранников и описана вокруг другого (радиус следует из того, что косинусы углов между осями 1 и 1^', 2 и 2^', 3 и 3^', равны , а точки на главных осях 1, 2, 3, изображающие одноосные напряженные состояния, при которых происходит переход в пластическое состояние, имеют координаты σ_т).

Уравнение граней шестигранных призм, пересечение которых с девиаторной плоскостью дает вышеуказанные шестиугольники:

– для внешнего шестиугольника:

; ; (6.3)

– для внутреннего:

(6.4)

Уравнение цилиндрической поверхности, пересечение которой с девиаторной плоскостью дает окружность:

(6.5)

6.4 Условие пластичности Треска - Сен - Венана

Впервые условие пластичности было найдено А. Треска в 1869г. В результате большой серии экспериментов по выдавливанию различных материалов через матрицы он пришел к выводу, что переход в пластическое состояние наступает, когда максимальное касательное напряжение во всех точках среды достигает предела текучести при чистом сдвиге.

В 1871 г. Б. Сен-Венан дал математическую формулировку этого условия для плоской деформации:

Переход в пластическое состояние наступает, когда наибольшее касательное напряжение достигает половины предела текучести при растяжении:

В общем случае объемного напряженно–деформированного состояния:

(6.6)

В (6.6) правило индексов σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃ не используется, т.к. до решения задачи неизвестно, какое главное напряжение будет максимальным, а какое – минимальным. В противном случае можно было бы всегда писать: .

В упругом состоянии все соотношения (6.6) будут неравенствами; в пластическом – в одном или в двух должен быть знак равенства. Поскольку σ_т > 0 и τ₁₂ + τ₂₃ + τ₃₁ = 0, то одновременно во всех трех соотношениях (6.6) знак равенства быть не может.

Геометрически условию Треска-Сен-Венана в пространстве напряжений соответствует поверхность бесконечной шестигранной призмы (частный случай цилиндрической поверхности), ось которой равнонаклонена к осям системы координат (рис. 6.4).

В случае плоского напряженного состояния (ПНС), когда σ₃= 0, поверхность пластичности (призмы) переходит в контур пластичности, представляющий след от пересечения призмы c плоскостью σ₁–0– σ₂ (рис. 6.5). Условие (6.6) в этом случае принимает вид:

Рисунок 6.4 − Поверхность текучести Рисунок 6.5 − Контур текучести

условия Треска-Сен-Венана при ПНС

(6.7)

Эти выражения в осях σ₁– 0 – σ₂ являются уравнениями шести прямых, отсекающих на осях координат отрезки, равные в некотором масштабе пределу текучести σ_т и образующих контур в виде шестиугольника (рис. 6.5). Легко видеть, что соотношения (6.7) соответствуют поверхности течения, описываемой выражениями (6.4). Т.о. условию пластичности Треска соответствует внутренний шестиугольник на рисунке 6.3б).

Важно иметь в виду, что так как максимальное касательное напряжение равно полуразности наибольшего и наименьшего главных напряжений, то по условию Треска-Сен-Венана промежуточное главное напряжение на переход в пластическое состояние не влияет. Это считается одним из главных недостатков данного условия, поскольку эксперименты показывают наличие систематических отклонений точек пластического состояния от предсказанных (совпадение имеется только на ребрах шестигранника).

Другим большим недостатком является сложность математической формулировки. На первый взгляд условие (6.6) предельно просто. Но чтобы им воспользоваться, нужно знать главные напряжения σ₁, σ₂ и σ₃, а для этого нужно иметь задачу уже решенной. В произвольных осях условие Треска – Сен-Венана имеет чрезвычайно сложное выражение [30]:

где k­– пластическая постоянная (предел текучести при сдвиге). Тем не менее условие Треска - Сен-Венана иногда используется,

поскольку:

1) для некоторых хрупких материалов типа чугуна оно дает хорошее совпадение с опытными данными;

2) для некоторых частных случаев напряженного состояния и, в особенности, если по условию задачи известны направления или соотношения главных напряжений, можно использовать простые формулы типа (6.7).

Однако большее распространение в расчетах процессов ОМД по-лучило условие пластичности Губера – Мизеса.

6.5 Условие пластичности Губера - Мизеса

Впервые было предложено Дж. Максвеллом в письме к Кельвину, а затем М. Губером и независимо от него Р. Мизесом.

Губер получил его, рассматривая энергию упругого изменения формы в элементарном объеме, поэтому это условие называется энергетическим.

Пластическое состояние возникает, когда энергия упругого изменения формы в элементарном объеме достигает постоянного (если нет упрочнения) для данного материала значения.

В произвольных осях математическая формулировка этого условия имеет вид:

(6.8)

Или, учитывая выражение (2.42) для интенсивности нормальных напряжений:

σ_i = σ_т (6.9)

Т.о. данное условие допускает и другую формулировку:

Пластическое состояние возникает, когда интенсивность нормальных напряжений становится равной пределу текучести.

Мизес пришел к условию (6.8) несколько позже таким путем: с целью упрощения математической формулировки он предложил внутренний шестиугольник по рис. 6.4 заменить описанный вокруг него окружностью. Однако уравнение этой окружности в главных осях (6.5) и является одновременно формулировкой условия (6.8):

Мизес считал условие Треска – Сен-Венана точным, а (6.8) – приближенным. Однако проведенная впоследствии экспериментальная проверка обоих условий показала, что энергетическое условие лучше согласовывается с опытом для пластичных металлов.

Из вышеуказанного ясно, что условию Губера – Мизеса в пространстве напряжений будет соответствовать поверхность прямого кругового цилиндра (рис. 6.6), описанного вокруг призмы Треска, а в случае плоского напряженного состояния – эллиптический контур, описанный вокруг шестиугольника условия Треска (рис. 6.7). На рисунке 6.3б) энергетическому условию соответствует окружность, описанная вокруг шестиугольника условия Треска.

Рисунок 6.6 − Поверхность текучес Рисунок 6.7 − Контур текучести

условия Губера-Мизеса условия Губера-Мизеса

Поскольку интенсивность касательных напряжений ,

то по (2.38) Это позволяет дать третью интерпретацию данного условия пластичности, учитывая, что через компоненты девиатора напряжений может быть выражена величина октаэдрического касательного напряжения τ_окт :

Пластическое состояние наступает, когда величина октаэдрического касательного напряжения становится равной .

Действительно:

Так как условие Треска называется еще условием постоянства максимальных касательных напряжений, то условие Губера–Мизеса, по аналогии, может называется условием постоянства октаэдрических касательных напряжений.

Очевидно, что условие Губера-Мизеса не может быть точным, поскольку является функцией только и не учитывает влияния .

Физический смысл обоих условий очевиден: в первом случае пластическое течение начинается по площадкам τ_max (рис. 2.11), а во втором - по равнонаклоненным, октаэдрическим площадкам (рис.2.15).

Условия Треска и Губера–Мизеса близки друг к другу и различие в пределах текучести по каждому условию при чистом сдвиге, когда σ₁ = – σ₃ и σ₂ = 0, не превышает 15,5 %.

Однако энергетическое условие получило преимущественное распространение в ОМД, как вследствие своей математической простоты, так и большего соответствия опытным данным для металлов,

подвергающихся обработке давлением.

Многочисленные иные условия пластичности в практике инженерных расчетов пока не получили широкого распространения и применяются только в теоретических целях.