4. Требования к определению понятий

Определение должно быть соразмерным.

Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Соразмерны, например, понятия «прямоугольник» и «четырехугольник, в котором все углы прямые». Если же объем определяющего понятия включает в себя объем понятия определяемого, то говорят об ошибке слишком широкого определения. Так, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек или совпадают» слишком широко, поскольку ему удовлетворяют и скрещивающие прямые. Если же объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия, то имеет место ошибка слишком узкого определения. Например, определение «Прямые a и b называются параллельными, если они не имеют общих точек» слишком узко, поскольку ему не удовлетворяют совпадающие прямые.

В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.

Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определении не должно содержатся определяемого термина) или определять его через другое понятие, которое определяется через него.

Возьмем такие понятия начальной математики, как “умножение” и “произведение”, и дадим им следующие определения:

Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел.

Произведением чисел называется результат их умножения.

Видим, что умножение определяется через понятие произведение, а произведение – через понятие умножения. Определения образовали, как говорят в математике, порочный круг. В результате цепочка последовательных определений, выстроенных в рамках курса, прерывается.

Порочный круг содержится и в таком определении: «Решением уравнения называется число, которое является его решением». Здесь понятие «решение уравнения» определяется, по сути дела, через решение уравнения.

Определение должно быть ясным.

Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедится в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно показать, что включенное в определение свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное. Следовательно, правильнее определять прямоугольник таким образом: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

Замечание. Чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выделены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простаты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат – это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее. Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие – прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.

Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого есть прямой угол;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большего числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например, два различных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

Примеров явных родо-видовых отношений среди множества математических понятий, которые рассматриваются в начальных классах, не так уже и много. Но с учетом важности определения через род и видовой признак в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения этого вида уже в начальных классах.