2. Запись числа в десятичной системе счисления

Как известно, в десятичной системе счисления для записи чисел пользуется 10 знаков (цифр): 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Из них образую конечные последовательности, которые являются краткими записями чисел. Например, последовательность 3745 является краткой записью числа 3·10³+7·10²+4·10+5.

Определение. Десятичной записью натурального числа х называй его представление в виде: Х = а_n  10 ⁿ + а _{n – 1}  10 ^{n – 1} + …+ а₁  10 + а₀ =, где коэффициенты а_n, а _{n – 1},…, а₁, а₀ принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а _n 0.

Сумму а_n  10 ⁿ + а _{n – 1}  10 ^{n – 1} + …+ а₁  10 + а₀ в краткой форме принято записывать так: .

Так как понятие числа и его записи нетождественны, то существование и единственность десятичной записи натурального числа надо доказывать.

Теорема. Любое натуральное число х можно представить в виде

Х = а_n  10 ⁿ + а _{n – 1}  10 ^{n – 1} + …+ а₁  10 + а₀ , (1)

где а_n, а _{n – 1},…, а₁, а₀ принимает значения 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, и а _n 0 и такая запись единственна.

Доказательство существования записи числа х в виде (1). Среди последовательных чисел 1, 10, 10², 10³,..., 10^п,... найдем наибольшую степень, содержащуюся в х, т.е. такую, что 10^п  х 10^{п +1} что всегда можно сделать.

Разделим (с остатком) число х на 10 ^п. Если частное этих чисел обе значить через а_п, а остаток через х_п, то х=а_п10^п+х, где а_п<10 х_п<10^п. Далее, разделив х_п на 10 ^{п -1}, получим: х_п = а_{п – 1}  10^{п – 1} + х_{п – 1}, откуда х = а_п 10^п +а_{п – 1}10^{п –1}, где а_{п –1} < 10 и х_{п – 1}<10^п–1 . Продолжая деление, дойдем до равенства х₂ = а₁10+х₁. Положив х₁=а_0, будем иметь: х=а_n10ⁿ+а_n–110^n–1+…+а₁10+а₀, т.е. число х будет представлено в виде суммы степеней числа 10 с коэффициентами, меньшими 10, что и означает возможность записи числа х в десятичной системе счисления.

Доказательство единственности представления числа х в виде (1). Число n в равенстве (1) однозначно определяется условием 10^п  х10^{п +1}. После того как n определено, коэффициент а_п,, находят из условия: а_n10 ⁿ<(а_n+1)10ⁿ. Далее, аналогичным образом определяются коэффициенты а_n–1, …,а₀.

Десятичная запись числа позволяет просто решать вопрос о том, какое из них меньше.

Теорема. Пусть х и у – натуральные числа, запись которых дана в десятичной системе счисления:

х = а_n  10 ⁿ + а _{n – 1}  10 ^{n – 1} + …+ а₁  10 + а₀,

у = b_т  10 ^т +b _{т – 1}  10 ^{т – 1} + …+ в₁  10 +b₀ .

Тогда число х меньше числа у, если выполнено одно из условий:

а) п  т;

б) п = т, но а_п b_п;

в) п = т, а_п = b_п, …, а_k = b _k, но а_k-1  b _k-1

Доказательство. В случаев а) имеем: так как n < т, то 10^п+1 < 10, а поскольку х<10^{п +1} и 10 у, то х < 10^{п +1}  10 у, т. е. х < у.

В случае б): если n=t, но а_п b_п, то а_п+1 b_п и потому (а_п+1)10^п<b_п10^п. А так как х < (а_п + 1)10 ^п и b_п 10 ^п  у, то (а_п + 1)10 ^п < b_п 10 ^п  у , х < у.

Аналогично доказывается теорема и в случае в).

Например, если х=345, а у=4678, то х<у, так как первое число трехзначное, а второе - четырехзначное. Если х = 345, а у = 467, то х<у, так как в первом из двух трехзначных чисел меньше сотен. Если х=3456, а у=3467, то х<у, так как, несмотря на то что в каждом из четырехзначных чисел число тысяч и сотен одинаковое, десятков в числе х меньше, чем в числе у.

Если натуральное число х представлено в виде х=а_n10ⁿ+а_n–110^n–1+…+а₁10+а₀,, то числа 1, 10, 10²,.... 10^п называют разрядными единицами соответственно первого, второго, ..., n+1 разряда, причем 10 единиц одного разряда составляют одну единицу следующего высшего разряда, т.е. отношение соседних разрядов равно 10 - основанию системы счисления.

Три первых разряда в записи числа соединяют в одну группу и называют первым классом, или классом единиц. В первый класс входят единицы, десятки и сотни.

Четвертый, пятый и шестой разряды в записи числа образуют второй класс - класс тысяч. В него входят единицы тысяч, десятки тысяч и сотни тысяч.

Затем следует третий класс - класс миллионов, состоящий тоже из трех разрядов: седьмого, восьмого и девятого, т.е. из единиц миллионов, десятков миллионов и сотен миллионов.

Последующие три разряда также образуют новый класс и т.д. Выделение классов единиц, тысяч, миллионов и т.д. создает удобства для записи и прочтения чисел.

В десятичной системе всем числам можно дать название (имя). Это достигается следующим образом: имеются названия первых десяти чисел, затем из них в соответствии с определением десятичной записи и путем прибавления еще немногих слов образуются названия последующих чисел. Так, числа второго десятка (они представляются в виде 110+а₀ образуются из соединения первых десяти названий и сколько измененного слова десять («дцать»):

одиннадцать - один на десять,

двенадцать - два на десять и т.д.

Может быть, естественнее было бы говорить «два и десять», но наши предки предпочли говорить «два на десять», что и сохранилось в речи. Слово «двадцать» обозначает два десятка.

Числа третьего десятка (это числа вида 210+а₀) получают путем прибавления к слову «двадцать» названий чисел первого десятка: двадцать один, двадцать два и т.д.

Продолжая далее счет, получим название чисел четвертого, пятого, шестого, седьмого, восьмого, девятого и десятого десятков. Названия этих чисел образуются так же, как и в пределах третьего десятка, только в трех случаях появляются новые слова: сорок (для обозначения четырех десятков), девяносто (для обозначения девяти десятков) и сто (для обозначения десяти десятков). Названия чисел второй сотни составляются из слова «сто» и названий чисел период и последующих десятков. Таким путем образуются наименования: сто один, сто два, ..., сто двадцать и т.д. Отсчитав новую сотню будем иметь две сотни, которые для краткости называют «двести» Для получения чисел, больших двухсот, снова воспользуемся названиями чисел первого и последующих десятков, присоединяя их слову «двести». Затем получим особые названия: триста, четыреста, пятьсот и т.д. до тех пор, пока не отсчитаем десять сотен, которые носят название тысяча.

Счет за пределами тысячи ведется так: прибавляя к тысяче по единице (тысяча один, тысяча два и т.д.), получим две тысячи, три тысячи и т.д. Когда же отсчитаем тысячу тысяч, то это число получит особое наименование - миллион. Далее считаем миллионами до тех пор, пока не дойдем до тысячи миллионов. Полученное новое число - тысяча миллионов - носит особое название миллиард, или биллион. В вычислениях миллион принято записывать в виде 10⁶, миллиард - 10⁹. По аналогии можно получить записи еще больших чисел: триллион - 10¹², квадриллион – 10¹⁵ и т. д.

Таким образом, для того чтобы назвать все натуральные числа в пределах миллиарда, потребовалось только 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок, девяносто, сто, тысяча, миллион, миллиард. Остальные названия чисел (в пределах миллиарда) образуются из основных.

Вопросы наименования и записи чисел рассматриваются в начальном курсе математики в разделе «Нумерация». При этом десятичной записью натурального числа считают его представление в виде суммы разрядных слагаемых. Например, 3000+700+40+5 есть сумма разрядных слагаемых числа 3745. Представление числа в виде таких сумм удобно для его наименования: три тысячи семьсот сорок пять.