1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения

Рассмотрим два высказывания, в которых используется слово «длина»:

1) Многие окружающие нас предметы имеют длину.

2) Стол имеет длину.

В первом предложении утверждается, что длиной обладают объекты некоторого класса. Во втором речь идет о том, что длиной обладает конкретный объект из этого класса. Обобщая, можно сказать, что термин «длина» употребляется для обозначения свойства, либо класса объектов (предметы имеют длину), либо конкретного объекта из этого класса (стол имеет длину).

Но чем это свойство отличается от других свойств объектов этого класса? Так, например, стол может иметь не только длину, но и быть изготовленным из дерева или металла; столы могут иметь разную форму. О длине можно сказать, что разные столы обладают этим свойством в разной степени (один стол может быть длиннее или короче другого), чего; не скажешь о форме - один стол не может быть «прямоугольнее» другого.

Таким образом, свойство «иметь длину» - особое свойство объектов, оно проявляется тогда, когда объекты сравнивают по их протяженности (по длине). В процессе сравнения устанавливают, что либо два объекта имеют одну и ту же длину, либо длина одного меньше (больше) длины другого.

Аналогично можно рассматривать и другие известные величины: площадь, массу, время и т.д. Они представляют собой особые свойства окружающих нас предметов и явлений и проявляются при сравнении предметов и явлений по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения.

Величины, которые выражают одно и то же свойство объектов, называются величинами одного рода или однородными величинами. Например, длина стола и длина комнаты - это величины одного рода.

Напомним основные положения, связанные с однородными величинами.

1. Для величин одного рода имеют место отношения «равно», «меньше» и «больше», и для любых величин А и В справедливо одно и только одно из отношений: А < В, А = В, А > В.

Например, мы говорим, что длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше, чем длина любого катета этого треугольника, масса яблока меньше массы арбуза, а длины противоположных сто­рон прямоугольника равны.

2. Отношение «меньше» для однородных величин транзитивно: если А < В и В < С, то А < С.

Так, если площадь треугольника F₁ меньше площади треугольника F₂ площадь треугольника F₂ меньше площади треугольника F₃, то площадь треугольника F₁ меньше площади треугольника F₃.

3. Величины одного рода можно складывать, в результате сложения получается величина того же рода. Иными словами, для любых двух величин А и В однозначно определяется величина С = А + В, которую называют суммой величин А и В.

Сложение величин коммутативно и ассоциативно. Например, если А - масса арбуза, а В - масса дыни, то С = А + В - это масса арбуза и дыни. Очевидно, что А +В = В + А и (А + В) + С = А + (В + С).

4. Величины одного рода можно вычитать, получая в результате величину того же рода. Определяют вычитание через сложение.

Разностью величин А и В называется такая величина С = А - В, что А = В + С.

Разность величин А и В существует тогда и только тогда, когда А>В.

Например, если А - длина отрезка а, В - длина отрезкаb, то С = А - В - это длина отрезка с.

Величину можно умножать на положительное действительное число, в результате получают величину того же рода. Более точно, для любой величины А и любого положительного действительного числа х существует единственная величина В = х А, которую называют произведением величины А на число х.

Например, если А - время, отводимое на один урок, то умножив А на число х = 3, получим величину В = 3  А - время, за которое пройдет 3 урока.

5. Величины одного рода можно делить, получая в результате число. Определяют деление через умножение величины на число.

Частным величин А и В называется такое положительное действительное число х = А : В, что А = х В.

Так, если А - длина отрезка а, В - длина отрезка b (рис. 2) и отрезок а состоит из 4 отрезков, равных b, то А : В = 4 поскольку А = 4 В.

Величины, как свойства объектов, обладают еще одной особенностью - их можно оценивать количественно. Для этого величину надо измерить. Чтобы осуществить измерение, из данного рода величин выбирают величину, которую называют единицей измерения. Мы будем обозначать ее буквой Е. Если задана величина А и выбрана единица величины Е (того же рода), то измерить величину А - это значит найти такое положительное действительное число х, что А = х  Е.

Число х называется численным значением величины А при единице величины Е. Оно показывает, во сколько раз величина А больше (или меньше) величины Е принятой за единицу измерения.

Если А = х  Е, то число х называют также мерой величины А единице Е и Х = m_Е (А)

Например, если А - длина отрезка а, Е - длина отрезка b (рис. 2), то А=4Е. Число 4 - это численное значение длины А при единице длины Е, или, другими словами, число 4 - это мера длины А при единице длины Е.

В практической деятельности при измерении величин люди пользуются стандартными единицами величин: так, длину измеряют в метрах, сантиметрах и т.д. Результат измерения записывают в таком виде: 2,7 кг; 13 см; 16 с. Исходя из понятия измерения, данного выше, эти записи можно рассматривать как произведение числа и единицы величины. Например, 2,7 кг = 2,7  кг; 13 см = 13  см; 16 с = 16  с.

Используя это представление, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой. Пусть, например, требуется выразитьч в минутах. Так какч = ч и час = 60 мин, то ч = 60  мин = ( 60) мин = 25 мин.

Величина, которая определяется одним численным значением, называется скалярной величиной.

Если при выбранной единице измерения скалярная величина принимает только положительные численные значения, то ее называют положительной скалярной величиной.

Положительными скалярными величинами являются длина, площадь, объем, масса, время, стоимость и количество товара и др. Измерение величин позволяет переходить от сравнения величин к сравнению чисел, от действий над величинами к соответствующим действиям над числами, и наоборот.

1. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то отношения между величинами А и В будут такими же, как и отношения между их численными значениями, и наоборот :А = В  т(А) = т(В); А < В  т(А) < т(В); А > В  т(А) > т(В).

Например, если массы двух тел таковы, что А = 5 кг, В = 3 кг, то можно утверждать, что А > В, поскольку 5 > 3.

2. Если величины А и В измерены при помощи единицы величины Е, то для нахождения численного значения суммы А + В достаточно сложить численные значения величин А и В: А + В = С  т(А+В)=т(А)+т(В).

Например, если А = 5 кг, В = 3 кг, то А + В = 5 кг + 3 кг = (5 + 3) кг = 8 кг.

3. Если величины А и В таковы, что В = х  А, где х - положительное действительное число, и величина измерена при помощи единицы величины Е, то, чтобы найти численное значение величины В при единицы Е, достаточно число х умножить на число т (А): В = х  А  т (В) = х  т(А).

Например, если масса В в 3 раза больше массы А и А = 2 кг, то В = 3А =3 (2  кг) = (3 2)  кг = 6 кг.

Замечание. В математике при записи произведения величины А на число х принято число писать перед величиной, т.е. х А. Но разрешается писать и так: А х. Тогда численное значение величины А умножают на х, если находят значение величины А  х.

Рассмотренные понятия - объект (предмет, явление, процесс), его величина, численное значение величины, единица величины - надо уметь вычленять в текстах и задачах. Например, математическое содержание предложения «Купили 3 килограмма яблок» можно опи­сать следующим образом: в предложении рассматривается такой объект, как яблоки, и его свойство - масса; для измерения массы использовали единицу массы - килограмм; в результате измерения получили число 3 - численное значение массы яблок при единице массы - килограмм.

Один и тот же объект может обладать несколькими свойствами, которые являются величинами. Например, для человека - это рост, масса, возраст и др. Процесс равномерного движения характеризуется тремя величинами: расстоянием, скоростью и временем, между которыми существует зависимость, выражаемая формулой s = vt.

Если величины выражают разные свойства объекта, то их называют величинами разного рода, или разнородными величинами. Так, например, длина и масса - это разнородные величины.