7. Окружность и круг

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных отданной точки, называемой центром.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга.

Границей круга является окружность с теми же центром и радиусом.

Напомним некоторые свойства окружности и круга.

Говорят, что прямая и окружность касаются, если они имеют единственную общую точку. Такую прямую называют касательной, а общую точку прямой и окружности - точкой касания. Доказано, что если прямая касается окружности, то она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис.10). Справедливо и обратное утверждение.

Центральным углом в окружности называется плоский угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, расположенная внутри плоского угла, называется дугой окружности, соответствующей этому центральному углу. На рисунке 11, а штриховкой отмечен центральный угол, которому соответствует дуга АВ.

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее, называется вписанным в эту окружность. Угол ВАС на рисунке 11, б) вписан в окружность. Говорят также, что угол А опирается на хорду ВС. Прямая ВС разбивает окружность на две дуги. Центральный угол, соответствующий той дуге, которая не содержит точку А, называется центральным, соответствующим данному вписанному углу.

Угол, вписанный в окружность, обладает следующим свойством: он равен половине соответствующего центрального угла.

Из этого утверждения следует, что вписанные углы, стороны которых проходят через точки А и В, принадлежащие окружности, а вершины лежат по одну сторону от прямой АВ, равны (рис. 12).

В частности, углы, опирающиеся на диаметр, - прямые.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Чтобы описать окружность около треугольника, надо найти ее центр. Правило его нахождения обосновывается следующей теоремой:

Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к его сторонам, проведенных через середины этих сторон.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Правило нахождения центра такой окружности обосновывается следующей теоремой:

Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Из последних двух теорем следует, что биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной окружности, а серединные перпендикуляры - в центре описанной.

Можно доказать, что медианы треугольника, так же как и его высоты, пересекаются в одной точке. Точку пересечения медиан называют центром тяжести треугольника, а точку пересечения высот - ортоцентром.

Таким образом, во всяком треугольнике существует четыре точки, их называют замечательными: центр тяжести, центры вписанной и описанной окружностей и ортоцентр, - в которых пересекаются соответствующие элементы этого треугольника - медианы, биссектрисы, серединные перпендикуляры и высоты.

В связи с тем, что во всякий треугольник можно вписать окружность и около всякого треугольника можно описать окружность, возникает вопрос: обладают ли аналогичным свойством четырехугольники? Оказывается, для того чтобы в четырехугольник можно было вписать или около него описать окружность, необходимо, чтобы он был правильным.

Около всякого правильного многоугольника можно описать окружность и во всякий правильный многоугольник можно вписать окружность, причем центры вписанной и описанной окружностей совпадают.