2. Теоретико-множественный смысл суммы

Сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств. Например, если множество А содержит 5 элементов, а множество В - 4 элемента и пересечение множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме 5+4.

Теорема. Пусть А и В — конечные множества, не имеющие общих элементов. Тогда их объединение тоже конечно, причем п(АВ)=п(А) +п(В).

Доказательство. Докажем сначала, что если а и b - натуральные числа, то существует взаимно однозначное отображение отрезка нату­рального ряда N_b на множество Х таких чисел, что а + 1  х  а + b. Действительно, если поставить в соответствие числу с N_b число с + а, то в силу монотонности сложения этим будет задано взаимно однозначное отображение отрезка N_b на множество X.

Например, если а = 3, b = 5, то соответствие между множествами N₅ и Х={4,5,6,7, 8} может быть установлено так: числу с  N₅ сопоставим число х=3 + с: числу 1 - число 3 + 1 = 4, числу 2 - число 3 + 2 = 5 и т.д., числу 5 - число 3+5=8.

Пусть n(А) = а, n(В) = b. Тогда существуют взаимно однозначные отображения А на N_а и В на N_b. Но, согласно доказанному выше, отрезок N_b можно взаимно однозначно отобразить на множество Х таких чисел, что а + 1  х  а + b. Тем самым множество В взаимно однозначно отображается на Х. Отображая взаимно однозначно множество А на N_а, множество В - на X, получаем взаимно однозначное отображение множества А  В на отрезок N_а+b. Поскольку нет элементов, одновременно принадлежащих А и В, то это отображение определено на всем множестве А  В. Значит, в множестве А  В имеется а + b элементов, что и требовалось доказать.

Из рассмотренной теоремы следует, что с теоретико-множественных позиций сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а = п(А), b = п(В): а + b = n(А) + n(В) = n(А  В), если А В = .

Выясним теперь, каков теоретико-множественный смысл равенства а+0=а. Если а = n(А), 0 = n(), то, согласно теореме, а + 0 = n(А) + n() = n(А  ). Но, как известно, А   = А, следовательно, n(А  ) = n(А), откуда а + 0 = а.

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так, коммутативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство А  В = = В  А. Действительно, если а =n(А), b = n(В) и А  В =,то а + b = = n(А  В) = n(В  А) = b + а.

Аналогично можно показать, что ассоциативность сложения вытекает из равенства: (А  В)  С = А  (В  С). Действительно, если а =n (А), b = n (В), с=n(С) и АВ=, АС=, ВС=,

то (а+b)+с=n((АВ)С)=n(А(ВС))=n(А)+n(ВС)=а +(b +с).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет обосновывать выбор действий при решении текстовых задач определенного вида. Выясним, например, почему следую­щая задача решается при помощи сложения: «Катя нашла 3 гриба, а Маша - 4. Сколько всего грибов нашли девочки?»

В задаче рассматриваются три множества: множество А грибов Кати, множество В грибов Маши и их объединение. Требуется узнать число элементов в этом объединении, а оно находится сложением. Так как п(А) = 3, n(В) = 4 и АВ=, то n(А  В) = 3 + 4. Сумма 3 + 4 - это математическая модель данной задачи. Вычислив значение этого выражения, получим ответ на вопрос задачи: 3+4=7. Следовательно, девочки нашли 7 грибов.