3. Свойства бинарных отношений
Мы установили, что бинарное отношение на множестве Х представляет собой множество упорядоченных пар элементов, принадлежащих декартову произведению Х. Это математическая сущность всякого отношения. Но, как и любые другие понятия, отношения обладают свойствами. Их удалось выделить, изучая различные конкретные отношения. Свойств достаточно много, в нашем курсе мы будем изучать только некоторые.
Рассмотрим на множестве отрезков, представленных на рисунке, отношения перпендикулярности, равенства и «длиннее».
а
е b d
с
Построим графы этих отношений и будем их сравнивать.
a
Граф отношенияперпендикулярности
e b
a
Граф отношенияравенства
d b
c e
Граф отношения «длиннее»
a
b
e
d c
Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о каждом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R рефлексивно на Х х R х для любого х Х.
Замечание: Если отношение R рефлексивно на множестве Х, то в каждой вершине графа данного отношения имеется петля. Справедливо и обратное утверждение: граф, каждая вершина которого имеет петлю, задает отношения, обладающие свойством рефлексивности.
Примеры рефлексивных отношений:
отношение «кратно» на множестве натуральных чисел (каждое натуральное число кратно самому себе);
отношение подобия треугольников (каждый треугольник подобен самому себе).
Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают.
Примеры отношений, которые свойством рефлексивности не обладают:
отношение перпендикулярности на множестве отрезков (нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе);
отношение «длиннее» для отрезков.
Обратим внимание на графы отношений перпендикулярности и равенства отрезков. Они «похожи» тем, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эта особенность графа отражает те свойства, которыми обладают отношения параллельности и равенства отрезков:
если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому;
если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому.
Про отношения перпендикулярности и равенства отрезков говорят, что они обладают свойством симметричности или просто симметричны.
Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R симметрично на Х ( х R х у Rх).
Замечание. Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение. Граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.
Примеры симметричных отношений:
отношение параллельности на множестве прямых (если прямая х параллельна прямой у, то прямая у параллельна прямой х);
отношение подобия треугольников (если треугольник F подобен треугольнику Р, то треугольник Р подобен треугольнику F).
отношение перпендикулярности на множестве отрезков (если один отрезок перпендикулярен другому отрезку, то этот «другой» перпендикулярен первому);
отношение «длиннее» для отрезков (если один отрезок равен другому отрезку, то этот «другой» равен первому).
Пример
Рассмотрим отношение «длиннее» на множестве отрезков, которое свойством симметричности не обладает. Действительно, если отрезок х длиннее отрезка у, то отрезок у не может быть длиннее отрезка х. Про отношения «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или просто антисимметрично.
Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что элемент отношении R с элементом х не находится.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R антисимметрично на Х ( х R уху ).
Замечание. Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены только одной стрелкой, есть граф антисимметричного отношения.
Примеры антисимметричных отношений:
отношение «длиннее» на множестве отрезков;
отношение «больше» для чисел (если х больше у, то у не может быть больше х);
отношение «больше на 2» для чисел (если х больше у на 2, то у не может быть больше на 2 числа х).
Пример
Рассмотрим отношение «быть сестрой» на множестве детей одной семьи, которое не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности. Пусть в семье трое детей: Катя, Маша, и Толя. Тогда граф отношения» быть сестрой» будет таким:
К М
Т
Он показывает, что данное отношение не обладает ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.
Обратим внимание еще на одну особенность графа отношения «длиннее». На нем можно заметить: если стрелки проведены от е к а и от а к с, то есть стрелка от е к с; если стрелки проведены от е к в и от в к с, то есть стрелка и от е к с и т.д. Эта особенность графа отражает важное свойство отношения «длиннее»: если первый отрезок длиннее второго, а второй – длиннее третьего, то первый – длиннее третьего. Говорят, что это отношение обладает свойством транзитивности или просто транзитивно.
Определение. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если выполняется условие: из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у находится в отношении R с элементом z, следует, что и элемент х в отношении R с элементом z.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R транзитивно на Х ( х R уу Rz х R z).
Замечание. Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и у к z, содержит стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение..
Примеры транзитивных отношений:
отношение «длиннее» на множестве отрезков;
отношение равенства (если отрезок х равен отрезку у и отрезок у равен отрезку z, то отрезок х равен отрезку z.
Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают. Таким отношением является, например, отношение перпендикулярности: если отрезок а перпендикулярен отрезку d, а отрезок d перпендикулярен отрезку b, то отрезки а и b не перпендикулярны.
Рассмотрим еще одно свойство отношений, которое называют свойством связности, а отношение, обладающее им, называют связанным.
Определение. Отношение R на множестве Х называется связанным, если для любых элементов х и у из множества Х выполнено условие: из того, что х и у различны, следует, что либо х находится в отношении R с элементом у, либо элемент у находится в отношении R с элементом х.
Используя символы, это отношение можно записать в таком виде:
R связано на множестве Х ( ху х R у у R х).
Свойством связности обладают отношения «больше» для натуральных чисел: для различных чисел х и у можно утверждать, что х у, либо у х.
Замечание. На графе связного отношения любые две вершины соединены стрелкой. Справедливо и обратное утверждение.
Существуют отношения, которые свойством связности не обладают. Таким отношением, например, является отношение делимости на множестве натуральных чисел: можно назвать такие числа х и у, что ни число х не является делителем числа у, ни число у не является делителем числа х.
Выделенные свойства позволяют анализировать различные отношения с общих позиций – наличия (или отсутствия) у них тех или иных свойств.
Так, если суммировать все сказанное об отношении равенства, заданного на множестве отрезков, то получится, что оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Отношение «длиннее» на том же множестве отрезков антисимметрично и транзитивно, а отношение перпендикулярности – симметрично, но оно не обладает свойствами рефлексивности и транзитивности. Все эти отношения на заданном множестве отрезков связанными не являются.
Пример
Сформулировать свойства отношения «больше в 2 раза», заданного на множестве натуральных чисел.
Решение. «Больше в 2 раза» - это краткая запись отношения «число х больше числа у в 2 раза». Это отношение антисимметрично, так как выполняется условие: из того, что число х больше числа у в 2 раза, следует, что число у не больше числа х в 2 раза.
Данное отношение не обладает свойством рефлексивности, потому что ни про одно число нельзя сказать, что оно больше самого себя в 2 раза.
Заданное отношение не транзитивно, так как из того, что число х больше числа у в 2 раза, а число у больше числа z в 2 раза, следует, что число х не может быть больше числа z в 2 раза.
Это отношение на множестве натуральных чисел свойством связности не обладает, так как существуют пары таких чисел х и у, что ни число х не больше числа у в два раза, ни число у не больше х в 2 раза. Например, это числа 7 и 3, 5 и 8 и др.
Отношение эквивалентности и порядка
Рассмотрим на множестве дробей Х=отношение равенства. Это отношение:
рефлексивно, так как всякая дробь равна сама себе;
симметрично, так как из того, что дробь равна дробии дробьравна дроби, следует, что дробьравна дроби.
Про отношение равенства дробей говорят, что оно является отношением эквивалентности.
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношение эквивалентности, если оно одновременно обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.
Примерами отношений эквивалентности могут служить отношения равенства геометрических фигур, отношение параллельности прямых (при условии, что совпадающие прямые считаются параллельными).
Почему в математике выделили этот вид отношений? Рассмотрим отношение равенства дробей, заданное на множестве Х=
Видим, что множество разбилось на три подмножества: ,,. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеет разбиение множества Х на классы. Это не случайно.
Замечание. Если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно порождает разбиение этого множества на попарно не непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности).
Так, мы установили, что отношению равенства на множестве дробейсоответствует разбиению этого множества на классы эквивалентности, каждый из которых состоит из равных между собой дробей.
Замечание. Верно и обратное утверждение: если какое – либо отношение, заданное на множестве Х, порождает разбиение этого множества на классы, то оно является отношением эквивалентности.
Пример
Рассмотрим на множестве Х = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1(это числа 1, 4, 7, 10), и в третий – все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности. Утверждения о взаимосвязи отношения эквивалентности и разбиения на классы мы принимаем без доказательства.
Если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задать отношение равенства (оно является отношением эквивалентности), то множество отрезков разобьется на классы равных отрезков. Множество треугольников отношением подобия разбивается на классы подобных треугольников.
Принцип разбиения множества на классы при помощи некоторого отношения эквивалентности является важным принципом математики.
Во-первых, эквивалентный – это значит равносильный, взаимозаменяемый. Поэтому элементы одного класса эквивалентности взаимозаменяемые. Так, дроби, оказавшиеся в одном классе эквивалентности , неразличимы с точки зрения отношения равносильности, и дробь может быть заменена другой, например. И эта замена не изменит результата вычислений.
Во–вторых, поскольку в классе эквивалентности оказываются элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения, то считают, что класс эквивалентности определяется любым своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу. Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных представителей из классов эквивалентности. Например, отношение эквивалентности «иметь одинаковое число вершин», заданное на множестве многоугольников, порождает разбиение этого множества на классы треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т.д. Свойства, присущие некоторому классу, рассматриваются на одном его представителе.
В-третьих, разбиение множества на классы с помощью отношения эквивалентности используется для введения новых понятий. Например, понятие «пучок прямых» можно определить как то общее. Что имеют параллельные между собой прямые.
Вообще любое понятие, которым оперирует человек, представляет собой некоторый класс эквивалентности. «Стол», «дом», «книга» – все эти понятия являются обобщенными представлениями о множестве конкретных предметов, имеющих одинаковое назначение.
Другим важным видом отношений являются отношения порядка.
Определение. Отношение R на множестве Х называется отношение порядка, если оно одновременно обладает свойствами антисимметричности и транзитивности.
Примеры отношений порядка:
отношение «меньше» на множестве натуральных чисел;
отношение «короче» на множестве отрезков.
Если отношение порядка обладает еще свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка.
Например, отношение «меньше» на множестве натуральных чисел является отношением линейного порядка, так как обладает свойствами антисимметричности, транзитивности и связности.
Определение. Множество Х называется упорядоченным, если на нем задано отношение порядка.
Так, множество N натуральных чисел можно упорядочить, если задать на нем отношение «меньше».
Если отношение порядка, заданное на множестве Х, обладает свойством связности, то говорят, что оно линейно упорядочивает множество Х.
Например, множество натуральных чисел можно упорядочить и с помощью отношения «меньше», и помощью отношения «кратно» – оба они являются отношениями порядка. Но отношение «меньше», в отличие от отношения «кратно», обладает еще и свойством связности. Значит, отношение «меньше» упорядочивает множество натуральных чисел линейно.
Не следует думать, что все отношения делятся на отношения эквивалентности и отношения порядка. Существует огромное количество отношений, не являющихся ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
- Министерство образования и науки украины
- Содержание
- Пояснительная записка
- Структура курса
- Модуль 1. Множества
- Тема 1. Множества и операции над ними
- Введение
- 1. Понятие множества и элемента множества
- 2.Способы задания множества
- 3. Отношения между множествами. Подмножество
- Примеры
- 4. Круги Эйлера-Венна
- Практическая работа. Понятие множества
- Тема 2. Операции над множествами
- 1. Пересечение множеств
- 2. Объединение множеств
- 3. Законы пересечения и объединения множеств
- Определение. Для любых множеств а, в и с выполняются равенства:
- 4. Вычитание множеств. Дополнение подмножества
- Практическая работа. Операции над множествами
- Вопросы к изучению
- Основные понятия
- Обозначения
- Практическая часть
- Тема 2.1. Понятие разбиения множества на классы
- 1. Понятие разбиения множества на классы
- Практическая работа. Разбиение множества на классы
- Вопросы к изучению
- Обозначения
- Правила
- Тема 2.2. Декартово произведение множеств
- 1. Декартово произведение множеств
- 2. Свойства операции нахождения декартова произведения
- 3. Кортеж. Длина кортежа
- Практическая работа. Декартово произведение
- Вопросы к изучению
- Обозначения
- Правила
- Тема 3. Понятие соответствия Содержание
- 1. Понятие соответствия между множествами
- Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.
- 2. Способы задания соответствий
- 3. Соответствие обратное данному
- 4. Взаимно однозначные соответствия
- 5. Равномощные множества
- Практическая работа. Соответствия между двумя множествами
- Тема 4. Числовые функции
- 1. Понятие функции. Способы задания функций
- 2. Прямая и обратная пропорциональности
- Основные понятия темы
- Основные выводы, замечания
- Тема 5. Отношения на множестве
- 1. Понятие отношения между элементами одного множества
- 2. Способы задания отношений
- 3. Свойства бинарных отношений
- Практическая работа. Отношения на множестве
- Тема 6. Выражение. Уравнение. Неравенство
- Выражения и их тождественные преобразования.
- 1. Выражения и их тождественные преобразования
- 3. Уравнения с одной переменной
- 4. Неравенства с одной переменной
- Практическая работа. Выражения и их преобразования. Числовые равенства и неравенства с одной переменной.
- Практическая работа. Уравнения и неравенства с одной переменной.
- Контрольная (зачетная) работа
- Модуль 2. Математические утверждения и их структура
- Тема 7. Математические понятия Содержание
- 1. Математические понятия. Объем и содержание понятия
- Пусть заданы два понятия а и b. Объемы их обозначим соответственно а и в.
- 2. Отношение рода и вида между понятиями
- 4. Требования к определению понятий
- 5. Неявные определения
- Практическая работа. Математические понятия
- Вопросы к изучению
- Представления о математических понятиях -
- Обозначения
- Тема 8. Высказывания и высказывательные формы
- 2. Конъюнкция и дизъюнкция высказываний
- 3. Конъюнкция и дизъюнкция высказывательных форм
- Практическая работа. Высказывания и высказывательные формы
- Тема 8.1. Высказывания с квантором. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- 1. Высказывания с кванторами
- 2. Истинность высказываний с кванторами
- 3. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- Практическая работа. Высказывания с кванторами. Отрицание высказываний и высказывательных форм
- Тема 8.2. Отношения следования и равносильности между предложениями
- 1. Отношения следования между предложениями
- 2. Отношения равносильности между предложениями
- Практическая работа. Отношения следования и равносильности между предложениями
- Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Обозначения
- Тема 8.3. Структура теоремы. Виды теорем
- 1. Структура теоремы
- 2. Отличие теоремы от правила
- 3. Виды теорем
- Практическая работа. Структура теоремы. Виды теорем
- Тема 9. Математическое доказательство
- 1. Понятие умозаключения.
- 2. Дедуктивные умозаключения Умозаключения, построенные по схеме
- 3. Индуктивные умозаключения. Полная индукция
- Все s1, s2,..., Sп исчерпывают весь класс s (4) Все s есть р
- 4. Неполная индукция
- 5. Математическая индукция
- 6. Аналогия
- 7. Умозаключения «от противного»
- 8. Некоторые виды неправильных умозаключений
- 9. Логическая структура математической задачи
- 10. Закон достаточного основания и аксиоматический метод в математике
- Практическая работа. Математическое доказательство
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Практическая часть
- Тема 10. Текстовая задача и процесс ее решения
- 1. Роль и место задач в начальном курсе математики. Функции текстовых задач
- 2. Структура процесса решения текстовой задачи
- 2. Методы и способы решения текстовых задач
- 3. Этапы решения задачи и приемы их выполнения
- 1. Анализ задачи
- 4. Поиск и составление плана решения задачи
- 5. Осуществление плана решения задачи
- 6. Проверка решения задачи
- 7. Моделирование в процессе решения текстовых задач
- Практическая работа. Текстовая задача и процесс ее решения
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Практическая часть
- Тема 11. Комбинаторные задачи и их решение
- 1. Комбинаторика
- 2. Правила суммы и произведения
- 3. Размещения и сочетания
- Практическая работа. Комбинаторные задачи и их решение
- Вопросы для коллоквиума
- Модуль 3. Целые неотрицательные числа
- Тема 12. Аксиоматическое построение системы натуральных чисел
- 1. Из истории возникновения понятия натурального числа
- 2. Об аксиоматическом способе построения теории
- 3. Основные понятия и аксиомы. Определение натурального числа
- 4. Количественные натуральные числа. Счет
- Семинарское занятие. История возникновения понятия натурального числа Вопросы к изучению
- Вопросы для самоконтроля
- Задания для самостоятельной работы
- Тема 13. Теоретико-множественный подход к построению натурального ряда чисел. Теоретико-множественный смысл арифметических действий.
- 1. Теоретико-множественный смысл натурального числа, нуля и отношения «меньше»
- 2. Теоретико-множественный смысл суммы
- 3. Теоретико-множественный смысл разности
- 4. Теоретико-множественный смысл произведения
- 5. Теоретико-множественный смысл частного натуральных чисел
- Практическая работа. Теоретико–множественный смысл суммы, разности, произведения, частного и отношения «меньше»
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Тема 14. Позиционные и непозиционные системы исчисления
- 1. Позиционные и непозиционные системы счисления
- 2. Запись числа в десятичной системе счисления
- Практическая работа. Запись целых неотрицательных чисел
- Теоретическая часть
- Основные понятия темы
- Тема 15. Алгоритмы действий над целыми неотрицательными числами
- 1. Алгоритм сложения
- 2. Алгоритм вычитания
- 3. Алгоритм умножения
- 4. Алгоритм деления
- Практическая работа. Алгоритмы арифметических действий
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Тема 16. Отношение делимости и его свойства Содержание
- Признаки делимости.
- Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель.
- 1. Отношение делимости и его свойства
- 2. Признаки делимости
- 3. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель
- 4. Простые числа
- 5. Способы нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного чисел
- Практическая работа. Делимость натуральных чисел
- Тема 17. О расширении множества натуральных чисел
- 1. Понятие дроби
- 2. Положительные рациональные числа
- 3. Запись положительных рациональных чисел в виде десятичных дробей
- 4. Действительные числа
- Практическая работа. Действия над положительными действительными числами
- Вопросы к коллоквиуму
- Теоретико-множественный смысл отношения «меньше», «равно»
- Теоретико-множественный смысл суммы.
- Теоретико-множественный смысл разности.
- Признаки делимости.
- Тема 18. Натуральное число как мера величины. Измерение величин
- 1. Понятие положительной скалярной величины и ее измерения
- 2. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения величины
- 3. Смысл суммы и разности
- Практическая работа. Понятие положительной скалярной величины
- Практическая работа. Обоснование выбора действий при решении текстовых задач в начальной школе
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Определения, теоремы, выводы
- Тема 19. Геометрические фигуры на плоскости и их свойства
- 1. Понятие геометрической фигуры
- 2. Углы
- 3. Параллельные и перпендикулярные прямые
- 4. Треугольники
- 5. Четырехугольники
- Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
- 1. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
- 2. У параллелограмма противолежащие стороны и противолежащие углы раны.
- 6. Многоугольники
- 7. Окружность и круг
- 8. Построение геометрических фигур на плоскости.
- 1. Построить на данной прямой отрезок со, равный данному отрезку ав.
- 2. Отложить от данной полупрямой в данную полуплоскость угол, равный данному углу.
- 3. Найти середину отрезка.
- 4. Построить биссектрису данного угла.
- 5. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой.
- 9. Преобразования геометрических фигур. Понятие преобразования
- 1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия).
- 2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия).
- 3. Гомотетия.
- 10. Движения и равенство фигур
- Практическая работа. Решение геометрических задач
- Практическая работа. Основные задачи на построение на плоскости
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Практическая часть
- Тема 20. Изображения пространственных фигур
- 1. Свойства параллельного проектирования
- 2. Многогранники и их изображение
- 3. Шар, цилиндр, конус и их изображение
- Практическая работа. Изображение пространственных фигур на плоскости
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Практическая часть
- Тема 21. Геометрические величины
- 1. Длина отрезка и ее измерение
- 2. Величина угла и ее измерение
- 3. Понятие площади фигуры и ее измерение
- 4. Площадь многоугольника
- 5. Площадь произвольной плоской фигуры и ее измерение
- Практическая работа. Геометрические величины
- Теоретическая часть Вопросы к изучению
- Основные понятия темы
- Правила, замечания
- Практическая часть
- Список литературы
- Учебник для студентов высших педагогических учебных заведений специальности: «начальное обучение»
- Глузман Неля Анатольевна Кандидат педагогических наук, доцент, заведующий кафедрой методик начального и дошкольного образования рвуз «Крымский гуманитарный университет» (г. Ялта)