Учебник Математики

2. Свойства операции нахождения декартова произведения

Так как декартовы произведения А и ВА состоят из различных элементов, то операция нахождения декартова произведения множеств свойством коммутативности не обладает.
Аналогично рассуждая, можно доказать, что для этой операции не выполняется и свойство ассоциативности.
Но она дистрибутивна относительно объединения и вычитания множеств, т.е. для любых множеств А, В и С выполняются равенства:

  С    С    С,  \   С    С \   С.

Пример

Проверьте справедливость свойства дистрибутивности декартова произведения относительно объединения, если: А = 3; 4; 5, В = 5; 7, С = 7; 8.

Решение. Найдем объединение множеств А и В:  = 3; 4; 5;7. Далее перечислим элементы множества   С, используя определение декартова произведения:   С = (3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8).

Чтобы найти элементы множества   С    С, перечислим сначала элементы множеств А  С и В  С:

А  С = (3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8)

В  С = (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8).

Найдем объединение полученных декартовых произведений:

  С    С = (3; 7), (3; 8), (4; 7), (4; 8), (5; 7), (5; 8), (7; 7), (7; 8).

Видим, что множества   С и   С    С состоят из одних и тех же элементов, следовательно, для данных множеств А, В и С справедливо равенство   С    С    С.

Выясним теперь, как можно наглядно представить декартово произведение множеств.

Если множества А и В конечны и содержат небольшое число элементов, то можно изобразить декартово произведение этих множеств при помощи таблицы или графа.

Пример

Декартово произведение множеств А =1; 2; 3 и В = 3; 5 можно представить так, как показано на рисунке 1 и 2

	3	5
1	(1,3)	(1,5)
2	(2,3)	(2,3)
3	(3,3)	(3,3)

Рис. 1

Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) можно изображать на координатной плоскости, так как каждая пара чисел может быть единственным образом изображена точкой на этой плоскости.

Способ наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств удобно использовать в случае, когда хотя бы одно из них бесконечное.

Пример

Изобразите на координатной плоскости декартово произведение   В, если:

а) А = 1; 2; 3 и В = 3; 5;

б) А = 1; 3, В = 3; 5;

в) А = R, В = 3; 5;

г) А = R, В = R.

Решение

а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа о т 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение   В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая – любое действительное число из промежутка 3; 5. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками.

1 2 3 х

б) В этом случае бесконечны оба множества А и В. Поэтому первой координатой может быть любое число из промежутка 1; 3, и, следовательно, точки, изображающие элементы декартова произведения данных множеств А и В, образуют квадрат. Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются и точками, лежащими внутри квадрата, этот квадрат можно заштриховать.

1 2 х

в) Этот случай отличается от предыдущих тем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества   В, принимает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка 3; 5. Множество таких точек образует полосу.

г) Декартово произведение RR состоит из всевозможных действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение RR содержит столько же элементов, сколько точек находится на координатной плоскости.

Содержание